הרהורים על "זוג או פרט"
28 בספט', 2009
זה פוסט מוזר. ראו הוזהרתם.
באחד הפרקים הראשונים של הישרדות נאלצו שני השבטים להודות שהכרעה לא תושג במאבק ביניהם ושהדרך היחידה ליישב אותו בלי לגרום נזק בלתי-הפיך למשתתפים תהיה לפנות להגרלה. מאוחר יותר, כשסיפרתי למישהו על אירועי הפרק טענתי שהשבטים הטילו מטבע, אלא שאז נזכרתי שמטבעות אין להם ולרגע, בעודי מנסה להיזכר מה היתה שיטת ההגרלה שבה השתמשו חשבתי שאולי נציגים משני השבטים שיחקו ביניהם "זוג או פרט".
ואז זה היכה בי.
ההגרלה ב"זוג או פרט", לפחות לפי החוקים שהיו נהוגים בילדותי אינה הוגנת! ההסתברות לקבלת תוצאה זוגית גבוהה יותר מההסתברות לקבלת תוצאה אי-זוגית! אחת מהנחות היסוד של עולם הילדות שלי התפוררה פתאום.
בסרדיניה זוג או פרט (בערך) הוא עניין רציני לגמרי
בואו נתחיל מהעובדות: ב"זוג או פרט", כפי ששוחק בילדותי, וכפי שזכרו אותו כמה וכמה אנשים בני גילי פחות או יותר רשאי כל אחד משני השחקנים להציג בין אצבע אחת לחמש, מספר האצבעות הכולל של שני השחקנים קובע מי משניהם ניצח. אם מספר האצבעות הכולל הוא זוגי זוכה השחקן שבחר "זוג", אם מספר האצבעות הכולל הוא אי-זוגי זוכה השחקן שבחר "פרט". תחת ההנחה הבעייתית (אבל היחידה שאפשר להתחיל ממנה) לפיה כל אחד מהשחקנים מחליט באופן אקראי (כלומר בהתפלגות אחידה) על מספר האצבעות שיציג הרי שההסתברות ששחקן מסויים יציג מספר זוגי של אצבעות הוא 2/5 (שתי אצבעות או ארבע אצבעות) וההסתברות שיציג מספר אי-זוגי הוא 3/5. ההסתברות לקבלת סכום זוגי נתונה על-ידי ההסתברות ששני השחקנים יציגו בו-זמנית מספר זוגי של אצבעות ועוד ההסתברות ששני השחקנים יציגו בו-זמנית מספר אי-זוגי של אצבעות. כיוון שברור שאין תלות בין מספרי האצבעות ששולפים שני השחקנים ההסתברות לקבלת סכום זוגי היא P=(2/5)^2+(3/5)^2=13/25. מכאן ברור שההסתברות לקבלת סכום זוגי גבוהה מההסתברות לקבלת סכום אי-זוגי.
עד כאן העובדות, ומכאן כמה הרהורי המשך.
על ההוגנות – שימו לב, מה שהתגלה כלא הוגן הוא ההגרלה, לא המשחק. המשחק עצמו נשאר הוגן כמובן, ולו מתוקף העובדה ששני השחקנים מתחילים אותו מעמדות זהות. אלא שהחלק השרירותי לכאורה של בחירה בין זוג לבין פרט מתגלה כמשמעותי. הבחירה, למעשה, שוברת את הסימטריה בין המתחרים.
על הקלקולופובים – למרות שהמתמטיקה המעורבת, כפי שניתן לראות בפסקה שלעיל היא פשוטה להפליא, כמעט כל מי שדיברתי איתו בימים האחרונים על הנושא (והיו לא מעט כאלה) אם אינו מגיע מרקע מדעי נעץ בי חיוך אומלל שחלקו רחמים וחלקו תחינה שאניח לו עם "הנוסחאות" שלי. חלקם חזרו אליי מאוחר יותר עם נסיונות לא ברורים להוכיח לי שאני שוגה או שאותו הגיון אפשר באורח פלא להפנות גם לעבר "אבן-נייר-ומספריים". נדמה לי שמעולם לא נתקלתי בהדגמה חדה כל כך לאופן שבו עירוב, ולו מינימלי, של מתמטיקה מנחית מכת-מוות מהירה על המשך האפשרות לקיומה של שיחה.
על החוקים – למרות מה שזכרתי (ושחוזק כאמור על-ידי זכרונם של עוד כמה) נתקלתי גם באנשים ששיחקו רק עם שתי אפשרויות (כל שחקן שולף אצבע אחת או שתיים). בטוויטר חנן צייץ בדיחה לפיה גיקים אמיתיים משחקים רק עם אחת ואפס.
אבל מה שחשוב באמת הוא העובדה שכאשר שאלתי שני קרובי משפחה צעירים (בני 12) הם טענו במפורש שכל שחקן יכול להציג בין אפס לבין חמש אצבעות. ההרחבה הזו יוצרת, כמובן, סימטריה מלאה בין המספרים הזוגיים לבין האי-זוגיים ובכך מחזירה את ההגרלה להיות הוגנת.
נכון שהעדויות האנקדוטליות שאספתי הן לא ממש בסיס לתזה אבל אני נוטה להאמין שמתישהו בין שנות הילדות שלי לבין הזמן הנוכחי חל סחף לכיוון ההתרה של אפס אצבעות כמהלך לגיטימי במשחק. בהיעדר איגוד רשמי של שחקני זוג או פרט יש להניח שהשינוי הזה "צמח מלמטה" במטרה לתקן את ההטיה של החוקים הישנים יותר.
על פסיכולוגיה – בהמשך ישיר לנקודה האחרונה, שמתי לב שכמעט כל מי ששאלתי "זוג או פרט?" השיב "זוג". האם ייתכן שבאופן בלתי-מודע שחקני זוג או פרט צוברים מספיק מידע כדי להרגיש שהבחירה בזוג עדיפה, גם אם אינם מוכנים למשוע על חישובים? למיטב זכרוני היו גם מקרים בהם היה אחד הצדדים יוזם את ההכרעה באמצעות משחק על-ידי כך שכבר היה מכריז על הבחירה שלו וכופה על השחקן שמולו את הבחירה המשלימה, במקרים כאלה, כמעט תמיד היה הצד הכופה פותח בהכרזה "זוג" כמובן.
יתר על כן, האם יכול להיות שלאורך זמן משתנה התפלגות הבחירה של השחקים באופן שיחזיר את המשחק להיות הוגן – האם שחקנים ותיקים מחלקים את תהליך הבחירה לשניים? בחירה עקרונית בין זוג לבין פרט ואז בחירה שרירותית מתוך מרחב האפשרויות המצומצם?
על האחידות – אחת הבעיות המרכזיות בכל ההצגה הזו היא ההנחה המופרכת לחלוטין לפיה התפלגות הבחירה של כל שחקן היא אחידה. בפועל, כפי שציינו בפניי בכמה שיחות, ארבע אצבעות הן בחירה נדירה ולא נוחה לשליפה (ובמידה פחותה גם שלוש אצבעות). לכאורה יש בטענה הזו החמרה של האי-הוגנות הבסיסית של המחשק. בפועל אני משער שדווקא העובדה ששתיים היא הבחירה הזוגית היחידה מקלה על שחקנים לבצע את הפירוק של תהליך הבחירה לשני חלקים.
על ההיסטוריה – נסיון לברר את "החוקים האמיתיים" של המשחק הוביל, כמובן, להכרה שקשה לדבר על חוקים אמיתיים, או על גירסה בסיסית אחת של המשחק שמקורותיו בימי האימפריה הרומית, ושגירסה אחרת שלו נאסרה בסרדיניה לתקופה קצרה בשל הנטייה של משחקים להתפתח לכדי תגרות אלימות.
על הפוסט הזה – פוסט מוזר, כבר אמרתי. אבל הנושא הזה לא נותן לי מננוח כבר כמה ימים, ואשמח לשמוע מחשבות של אנשים אחרים בעניינים שהועלו בו. בראשי כבר תכננתי כמה ניסויים בהשתתפות שחקנים צעירים שיבחנו את הכיוונים שהעליתי כאן. יש לפחות שתי פסקאות שהוצאו מהפוסט הזה כיוון שנעשו ארוכות ומסורבלות מידי. נדמה שאין נושא שהוא קטן וזניח מכדי להצדיק שעות של הרהורים.
No related posts.
בתקופתי שאלת האפס אצבעות הייתה במרכז דיון לוהט. טוב, אולי זו הצגה אקדמית מדי של מה שהיה שם. מה שהיה באמת זה שאחת לכמה זמן מישהו היה שולף אפס אצבעות, ואם במקרה הצד השני הפסיד, התחיל ויכוח האם אפס אצבעות זה מותר או לא. לא זכור לי שהגענו אי פעם להכרעה מוחלטת, אבל בכל ויכוח פרטני שכזה בסופו של דבר ידו של האפס הייתה על העליונה, בטיעון שאין שום הבדל בין התוצאה הזו לבין התוצאה של בחירה בשתי אצבעות, ושהמשחק הוא לא בבחירה בין אחת (או אפס) לחמש אצבעות, אלא בבחירה בין מספר זוגי או אי זוגי של אצבעות (היינו חנונים, מה אתה רוצה). אם ההגיון הזה נכון, אזי הטענה המתמטית שלך היא שגויה: קודם אני מחליט אם אני רוצה מספר זוגי או אי זוגי, ואחר כך בחירת המספר עצמו היא אקראית.
לצורך הדיון המתמטי גרידא (כי בעולם האמיתי ברור שזה לא עובד כך), אתה צריך לשאול עצמך אם כל אפשרות כל כמות אצבעות מסויימת היא אפשרית, ואם היא שווה בהסתברותה לאפשרות אחרת. זאת אומרת, האם האפשרות "שתיים" הבלתי-שגרתית והמאוד-מסובכת קמיצה+אגודל אפשרית במשחק, ואם כן, האם היא שווה בהסתברותה לאפשרות "שתיים" הסטנדרטית של אצבע+אמה. במידה והתשובות לשתי השאלות הן כן, אז הנוסחה מעט מורכבת יותר. אם אפס הוא לא אפשרות, ההסתברות ששחקן מסויים יציג מספר אצבעות זוגי היא 15/31, בעוד ההסתברות שיציג מספר אצבעות בלתי-זוגי היא 16/31.
לא "קלקולפובים" אלא "רציונלפובים". העובדה שמדובר בחשיבה רציונאלית על משהו שהם לא חשבו עליו אף פעם היא זו שמעצבנת אותם.
ואני שואל: מה אמרתם לפני ששלפתם?
אצלנו זה היה "אנ-ד-טרו-אה!", ורק אחרי שנים הבנתי שזה היה בעצם "אחת, שתיים שלוש" בצרפתית, והתחלתי לתהות מאין לעזאזל זה הגיע (אציין שכמובן אף אחד מילדי השכונה לא ידע צרפתית).
אני לא זוכר שסוגיית אלו וכמה אצבעות מותר להציג במשחק עלתה אי פעם. יש לזה גם סיבה טובה לדעתי- אין שום הגיון להציג מספר אצבעות השונה מאחד או משניים. מטרת המשחק היא אך לנחש נכון האם סך האצבעות שיוצגו יהיה זוגי או אי זוגי. התועלת שבהצגת שלוש אצבעות שקולה בדיוק לתועלת שבהצגת אצבע אחת. כך, גם אם מותר להציג שלוש (וחמש) אצבעות, לשם מה לעשות כן?
אני בן 19, גדלתי בבית-שמש, ותמיד היינו מכריעים דברים ע"י זוג או פרד (כן, עם ד'). החוקים שלנו היו שמותר או 1 או 2, אבל למרות שלא היה אי-שיוויון סטטיסטי עדין אפשר היה לראות אצלנו כמה דברים מעניינים:
היו תפקידים מקובעים, כלומר מי שהיה פרד דתמי היה פרד ומי שהיה זוג נשאר זוג עד עצם היום הזה. דבר שני, אפשר לראות שיש כאלו טובים יותר וטובים פחות, כלומר שמצליחים אינואיטיבית לנחש מה השני יבחר, למרות שאולי יש בזה אלמנט של למידה – מי שהיה טוב בבי"ס עדיהו בבית-שמש אולי יהיה גרוע כשהוא יגיע לבאר-שבע, צריך לבדוק את זה.
טעות! החישוב לגבי ההסתברות של זוג או פרט והטענה שלכל אחת מהאפשרויות (1-5 אצבעות) הסתברות זהה, לא נכונים וגם לא נוגעים בבעיה עצמה. גם אחרי הבחירה בזוג או פרט, נשארו לך 50% לניצחון.
הסיבה קצת קשה להסבר. מה שקורה הוא שמרגע שבחרת זוג או פרט, אתה יכול להעריך מה ההסתברויות לאצבוע שיבחר היריב ולכן אתה מגיב בהתאם על מנת להטות את התוצאה לטובתך. יריבך עושה אותו הדבר בדיוק! ולכן, אין כלל בחירה אקראית של אצבוע וההתפלגות היא בוודאי לא אחידה.
זוג או פרט אינו משחק של הגרלה גרידה ויש בו מרכיבים פסיכולוגיים אבל לא הסתברותיים שעשויים לשנות את מאזן הכוחות ולהגדיל סיכויים של משתתף אחד על חשבון השני.
כשאנחנו שיחקנו את המשחק בילדות היה מותר להציג בין 1-4, האגודל לא השתתף או לא נחשב בספירה.
אכן פוסט מוזר. אכן ההנחה שההתפלגות אחידה מופרכת (גם אצלנו כו-לם שלפו או אצבע אחת או שתיים). אבל אם ברצונך במחקר מבוסס סטטיסטי, דע לך שישנן אליפויות בזוג או פרט. אליפויות אמיתיות, עם שופטים. על שעליך לעשות הוא לקחת את קלטות הטורנירים ולנתח (ומכיוון שמדובר באנשים מנוסים, הרי שהם שקלו את ההסתברויות).
הבעיה אתכם, החילונים, היא שאתם לא מכירים את המקורות שלנו ומאמינים לזרים, המשחק שוחק כבר בבית המקדש (אם כי ייתכן שהמקור שלו יווני או קדום אף יותר), וכבר שם יש התיחסות לשאלה שמטרידה אותך וכתוב בפירוש שמוציאים אצבע אחת או שתיים.
הנה, ממש מענייני יום כיפור, http://www.mechon-mamre.org/b/h/h25.htm
תתחיל מפרק ב' ותגלה את החוקים.
למהגג: אני מקווה שההערה על "הבעיה עם החילונים" היא התבדחות שפספסתי את עוקצה, ותו לא.
בכל מקרה, היהדות היא שעטנז בין עשרות דתות ותרבויות שונות שהורכב והושפע במשך אלפי שנים. העובדה המשחק מוזכר במשנה (אם זה אכן המשחק, מה שלא וודאי מהטקסט), רק מעידה על כך שהיה מוכר בארץ ישראל של המאות הראשונות לספירה, ובוודאי לא מצביעה על כך שליהדות יש זכויות יוצרים עליו. ארץ ישראל והיהודים של אותם הימים היו חלק בלתי נפרד מהמרחב הרומי (וההליניסטי לפניו), ותרבותם ודתם הושפעו מהם עמוקות במשך חצי המילניום שלפני כן. לא רק שייתכן שמקור המשחק המוזכר במשנה הוא יווני, אלא שהסבירות לכך גבוהה ביותר.
מהגג – במקרה, התעמקתי בטקסט ובפרשנות במהלך הרגעים המתים בתפילת יום כיפור השנה: זה ממש לא זוג או פרט. זה משחק שמבוסס על חישוב mod, שזה נחמד, אבל לא זוג או פרט.
אני לא זוכר את האגודל בסיפור. כלומר האפשרויות הן בין 1 ל-4, לא 1 ל-5.
לגבי הבחירה בזוג, לי דווקא נראה שהבסיס הוא פסיכולוגי. זוג הוא סימטרי, הוא ה"טוב". פרד הוא החורג. אנחנו נוטים לבחור בטוב ולא בחריג.
ולמה באמת קריאת ה"אנ-דה-טרו-אה"? המשחק הגיע לארץ על-ידי תפוצות צרפת?
בעצם, ניסיתי לשחזר את התנועה ונראה לי שחמש אצבעות זה לגיטימי. אבל גם 0.
רק עכשיו שמתי לב שבתגובה הקודמת כתבתי "פרד". איך דברים שניטעים בילדות הופכים לאינסטיקטיביים.
[...] קישור לפוסט: הרהורים על "זוג או פרט" [...]
לאוטו פוקוס: אני באמת לא מבין מה אתה רוצה. לא טענתי שליהדות יש זכויות יוצרים על המשחק, להיפך, אמרתי בעצמי שייתכן שהמקור שלו יווני או קדום יותר, מה שכן רציתי לתקן זה את המשפט לפיו מקור המשחק רומאי.
ארץ ישראל של שלהי תקופת בית המקדש היא חלק מהמרחב היווני, עוד לא כל כך הרומאי, אבל כנראה הושפעה גם מתרבויות המזרח וממצרים העתיקה יותר ממה שלחוקרים אירופאים נעים להודות. וקשה להתעלם מכך שהיו בה גם כמה דברים מקוריים. בכל אופן, עצם העובדה שהמשחק נקרא שם "פיס", שזו מילה יוונית, מעיד אולי על כך שכל המשחק הוא יווני.
ואני עומד לגמרי מאחורי התוגה שהבעתי על כך שכמעט כל החילונים, גם המשכילים יותר, כמו גם דתיים רבים, לא מכירים את המשנה, שהיא נגישה, בעברית, ומהווה חלק חשוב מההיסטוריה והתרבות היהודית, גם אם אמרתי את זה בדרך פרובוקטיבית בכוונה.
לאוטופוקוס וליובל: אני מודה שלא *בטוח* שמדובר במשנה בזוג או פרט, (שגם הוא משחק שמבוסס על חישוב mod), אבל קשה להסביר אחרת את העובדה שמוציאים אצבע אחת או שתיים. האם ומדובר בהכללה של המשחק לn משתתפים ומשחקים mod n? כבר בלתי אפשרי לדעת מה בדיוק היה שם.
דובי: העליתי את האפשרות הזו של החלטה דו-שלבית בפוסט תוך מחשבה עליך ועל המודלים של בחירת מפלגה. אבל הטענה שלך, כמו גם של אחרים בהמשך, נראית לי לא נכונה כשמדברים על משחק בין ילדים עד כתה ב' (לפחות) שהם גם אלה שמשחקים הכי הרבה במשחק. ברור לי שלפחות באופן מודע אין תהליך החלטה דו-שלבי כפי ששנינו תיארנו.
אוטו פוקוס: יפה, אבל אני חולק עליך. גם אם אכן כל קונפיגורציה של אצבעות היא חוקית, כפי ציינת, אני חושב שכל שחקן בוחר פעם אחת את קונפיגורציית האצבעות שבה הוא ישתמש לציון כל מספר. מה שייתכן הוא ששחקים משתמשים בשתי קונפיגרציות שונות כדי לציין שתי אצבעות ובכך מפצים על הפיגור של הזוגיים (משנים את הבחירה מבחירה בין חמש אפשרויות מספריות לבחירה בין שש קונפיגורציות אצבעיות).
חנן: האמת היא שלא הייתי ממהר לחרוץ את דינם כל כך מהר. הייתי די נודניק, אבל איכשהו העירוב של מתמטיקה הצליח לכבות באחת את העניין, ולו הזניח שהראו קודם.
א. וגם מרגוליס: אין לי מושג מהיכן הגיעה הספירה בצרפתית, אבל בגלל שיש לי קרובי משפחה דוברי צרפתית זה אף פעם לא היווה מסתורין עבורי ולכן לא יצא לי לתהות על זה עד היום.
איתמר: אתה צודק, כמובן, בניתוח קר, אבל כמו שאמרתי לדובי, עד כמה שאני זוכר את משחקי הילדות שלי, גם בשלב שבו אולי היתה לי כבר הבנה אמורפית של מה עומד בבסיס המשחק הבחירה במספר האצבעות שהצגתי היתה שרירותית.
נבט: מבחינתי ולצערי תשע עשרה זה לא הרבה יותר משתיים עשרה. אבל לא ברור לי מהתיאור שלך מה קורה כששני טיפוסי "זוג" אמורים לשחק זה נגד זה.
שמרלינג: לא לגמרי מבין את הטענה שלך. ברגע ששני שחקנים מבינים את המהות של המשחק ועוברים להכרעה דו-שלבית (כלומר בעצם בוחרים רק אם לשלוף מספר זוגי או אי-זוגי של אצבעות) אין שום מקום לחישובים, ודאי לא חישובים מורכבים מהסוג שאתה מתאר. אלא אם אני מפספס משהו ממש בסיסי.
גיל ומרגוליס: מעניין שגם אני התלבטתי לרגע אם חמש היה לגיטימי, וגם אני משחזור של התנועות, כמו מרגוליס, השתכנעתי שאצלנו חמש היה לגיטימי. אבל אפס בשום פנים ואופן לא.
יובל: אמרתי שיהיה מוזר. בכל מקרה דווקא שחקנים מנוסים שכאלה פחות מעניינים אותי. אבל יש לי כמה ניסויים מתוכננים כדי לאסוף סטטיסטיקה על ילדים בגילאי חמש עד שמונה (סביב גיל ההבנה המתמטית של המשחק, גם אם לא של רעיון ההסתברות).
מהגג, אוטו פוקוס ויובלף כן הייתי צריך לדעת שפוסט על נושא רגיש כל כך יגיע בסופו של דבר להתכתשות סביב ענייני דת.
את תיאור המשחק עוד לא קראתי, אבל ראוי לציין שטיפול מתמטי מסודר ברעיון של הסתברות מגיע הרבה אחרי המשנה.
מהגג: שמע, זה אפילו יותר גרוע מזה.
הלכתי לויקיפדיה לבדוק (ולשם אני גם מפנה) ושם כתוב במפורש שהמשחק שוחק גם ביוון העתיקה, אבל איכשהו, נשמט לי היוון בדרך מהקריאה בויקיפדיה לכתיבה בפוסט.
ערך בויקיפדיה אני לא מסוגל לקרוא כמו שצריך ואתה שולח אותי למשנה?
אכן, קריאה בויקיפדיה היא עניין בעייתי, יש מצב שבזמן שקראת היה כתוב שם רומא, ואחד ממיליוני קוראי הבלוג הזה כבר הספיק לשנות שם עד עכשיו.
.
ואכן, פוסט שמתחיל במילים: "זה פוסט מוזר, ראו הוזהרתם" חייב להגיע להתכשויות דת. הכתובת בהחלט היתה על הקיר. גאה להיות זה שהתחיל את העניין. אני מרגיש מועמד לתחרות "טוקבקיסט הynet" של תש"ע…
לדעתי כדאי שתקרא שוב את מה ששמרלינג טוען, יש לו נקודה. זוג או פרט אינו (רק) משחק סטטיסטי, עיקרו הוא תחרות ניחושים ופסיכולוגיה. ככזו, העובדה שיש עדיפות סטטיסטית לפרט בכל צד אינה רלוונטית, לצורך ההדגמה נסה לדמיין משחק שבו אני מנחש מספר בין 1 ל100 ואתה צריך רק להמר אם בחרתי 1 או לא. ברור שההסתברות שאני אבחר 1 היא לא 1/100, הרי אני מנסה להפיל אותך, היא פחות או יותר 1/2.
ועוד ויקיפדיה…
ויקיפדיות בשפות שונות לא מסכימים לגבי המקור של המשחק. האמין ביותר (בעיני) הוא הויקי האיטלקי שמתארך את המשחק למצרים העתיקה. לך תדע…
זוג או פרט, כמו גם אחיו הגדול אבנירו (מספריים) אינם הגרלות ואין להם דבר וחצי דבר עם חישובי הסתברות. המשחק (כפי ששוחק על ידי שחקנים מתקדמים בימי ילדותי) מעולם לא הוכרע בסיבוב אחד. הטוב משלוש היה המינימום, כשלא פעם, על מנת להוסיף עניין היינו משחקים הטוב מאחת עשרה ואפילו הטוב מחמש עשרה. זה הופך את המשחק למאבק פסיכולוגי שבו למיומנות, לניסיון ולמוניטין יש משקל רב. כמו גם לאמצעים כשרים למחצה כמו טראש טוק ושימוש בפסאודו מתמטיקה על מנת לבלבל את יריבך (בתור הגיק הרשמי של החברה, יש לי זכויות יוצרים על הטכניקה הזו).
קודם כל – זה אחלה פוסט וגם התגובות.
עכשיו האסימון שלי:
זוג או פרד (גם אני עם ד') שוחק אצלינו בלי אפס וכנראה שעם חמש אם כי אני לא זוכר שמישהו אי פעם הוציא חמש (אולי כי זה קרוב מדי ל'ניר' של אבנירומספרים). אנשים כן הוציאו שלוש וארבע ולא רק אחת ושתיים.
אבל תמיד היו מוציאים אצבעות סמוכות ולא קונפיגורציות מוזרות של זרת ואצבע, למעט מקרים בודדים שאני הייתי עושה את זה כי זה נראה לי מצחיק במיוחד ו"תורם" לרנדומליות. מיותר לציין שלא הבנתי אז שום דבר בהסתברות (גם היום אנ ילא משהו). וכן – הסתכלו עלי מוזר כשהייתי מוציא קונפיגורציה מוזרה. למותר לציין שאז גם לא הכרתי את המילה קונפיגורציה.
הכרזה – הוצאת האצבעות הייתה על פי רוב נעשית בתיאום ע"י הכרזת 'זוג!' (?!), זריקת הראש קדימה ושליפת האצבעות (אם כי לעיתים זה גם היה 'אנ-ד-טרו-אה!').
משום מה אני זוכר סדרות שלמות של הכרזות 'זוג!' ושליפת האצבעות: 'זוג!-זוג!-זוג!-זוג!…'. אני לא זוכר על שום מה ולמה, אולי כי מישהו שלף לפני הזמן ו'פסל' את המקצה?!
ניתן תמיד להגיע להסתברות חצי אם אתה בוחר את אצבעותיך בהסתברות חצי, גם אם אתה פרד.
טוב, שתי הפסקאות שנשמטו מהפוסט המקורי וזכו לאזכור חטוף בלבד נגעו לסוגיית השם (פרד או פרט) ולסוגיית האסטרטגיה.
בנוגע לשם – מדובר בבחירה מוזרה מאוד, שתי האפשרויות ככל הנראה קבילות, אבל מעט מלאכותיות (מישהו מכיר שימוש בפרד\פרט לציון אי-זוגיות שלא בשמו של המשחק?)
בנוגע לאסטרטגיה: כמו שציין מודי, ובעצם כמו שכבר מופיע בפוסט במובלע, על-ידי אסטרטגית בחירה שתיתן הסתברות שווה למספר אצבעות זוגי ולמספר אצבעות אי-זוגי המשחק אכן הופך להגרלה הוגנת לחלוטין ולא מאפשר ליריב שום אסטרטגיה שתיתן לו יתרון ולו זניח. לכן הטענה כאילו אפשר לפתח מומחיות במשחק נשמעת לי מופרכת לחלוטין, כשאני מוכן להתחייב שבמשחק עם גדול השחקנים בהיסטוריה אני אנצח אותו בממוצע במחצית מהסיבובים.
אני לא בטוח שתנצח.
א. אני לא יודע אם אפשר להגריל בראש. כלומר: אם היה לי מטבע ומותר היה לי להשתמש בו, הייתי יכול, אבל כמו שקשה להגריל מספק אקראי בין 1 ל-10 (יש עדיפות גדולה ל 7), אני מאמין שלכל אחד יש נטיה משלו, ושחקנים טובים יצליחו לנחש יותר טוב ממך מה תנחש.
ב. גם אם אתה מגריל באופן אקראי או אקראי-מדומה, יכול להיות שאתה מסגיר בשפת הגוף שלך מה אתה עומד לעשות, ושחקן טוב יודע לקרוא את זה.
בקיצור, יש סיכוי שמנטליסט טוב (נמרוד הראל כזה) יקרע אותך.
מודי: נשמע לי מופרך לחלוטין, ואני מוכן לבדוק את זה מול כל מי שיטען למיומנות אמיתית במשחק.
אגב חוסר היכולת להגרלה אמיתית בראש: קודם כל אני לא חושב שיש פסול בשימוש במטבע תוך כדי המשחק, אבל גם אם לא, כל מה שאני צריך זה לזכור את מאה הספרות הראשונות של השורש החמישי של e למשל ולשלוף בהתאם לזוגיות של הספרה המתאימה. עם כל הכבוד לעובדה שמדובר בסדרה מוגדרת מראש הרשה לי לפקפק בסיכוי שמישהו יעלה על זה אי-פעם. (מובן מאלי שמרגע שהצהרתי כאן על השורש החמישי של e אצטרך להחליף את הבחירה אבל יש לי מספיק אפשרויות כדי שזה לא ידאיג אותי).
טוב, אני חשבתי על שורש פיי כהגרלה אקראית מדומה (great minds think alike), אבל אני לא מאמין שאתה זוכר את מאה הספרות הראשונות, ובטח לא שיש לך מספיק אפשרויות (כלומר, עוד מספרים שאתה זוכר את ספרותיהם). חוץ מזה, מנין לך שיש התפלגות אחידה של זוגיים בשורש החמישי של e?
אבל בעקרון, אני לא בטוח כמוך שזה מופרך לחלוטין. ראיתי קוסמים עושים דברים שנראו הרבה יותר בלתי-אפשריים על פניהם, ומכיוון שאין לי מושג איך הם עושים את זה, לא אוכל לשלול את האפשרות.
שחר –
אני לא אוהב את האסטרטגיה שלך של להגריל את מספר האצבעות בהסתברות חצי. האסטרטגיה הזו, כמו שכתבת, אולי תוביל לתיקו, כלומר שלא תהיה אסטרטגיה שתנצח אותך בטווח הארוך, אבל מאידך היא גם לא תבטיח לך ניצחון בטווח הארוך. ובזוג או פרד אנחנו רוצים ניצחון ולכן אתה צריך "לגבש אסטרטגיה" שתנצח את היריב.
מודי: אני מוגבל כרגע על-ידי הדיוק של מטלב, אבל 25 מחמישים ושלוש הספרות הראשונות של השורש החמישי של e הן אי-זוגיות.
אורןף אבל אני לא חושב שיש אסטרטגיה כזו. אני חושב שבכפוף לחוקים שהזכרתי בפוסט (אחת עד חמש) סביר להניח שאנצח ילד ללא רקע מתמטי על בסיס ההנחה שהוא ישלוף תמיד מספר אי-זוגי. מרגע שהיריב שלך משכיל\נבון מספיק כדי לחשוב על אסטרטגיה אתה נקלע לשרשרת אינסופית של אסטרטגיות ואסטרטגיות-נגד שאין לך דרך אמיתית להחליט בה. לכן אני לא קונה את הטענה לפיה יש בכלל שחקנים ברמה גבוהה.
תאמינו לי, אתם מסתבכים.
קחו את e ואת פיי, בהתאם לזוגיות של היום בשבוע (יום זוגי=פאי). כל עוד לא תדברו על זה, אין שום סיכוי בעולם שמישהו יעלה על זה.
דרומי: אל תהיה נאיבי. הרי ידוע שהמודיעין הבריטי השתמש במומחי זוג או פרט כדי לפצח את האניגמה במלחמת העולם השנייה.
מדהימה אותי ההסתמכות שלכם על אלגוריתמים עד כדי איבוד צלם אנוש…
הרי ייצור מספרים פסאודו אקראיים הוא בדיוק אחד התחומים שבהם מחשבים חלשים, בעוד שאנחנו, בני האדם, מכונות הרבה יותר מורכבות – הרבה פחות ניתנות לצפיה.
ואתם, במקום לסמוך על האינטואיציה שלכם שתיתן לכם מספרים שקשה לנחש, אתם הולכים על משהו שהחוקיות בו ידועה, מנסים להסתיר מה השיטה שבחרתם ועוד חושבים שאתם בלתי ניתנים לניבוי.
במקום לנסות לחקות מחשב, היו בני אדם, השתמשו באינטואיציה שלכם!
מהגג: מחשבים אולי גרועים בייצור מספרים פסאודו אקראיים אבל המוח האנושי גרוע מהם בהרבה. אבל אף אחד מאיתנו לא הציע להשתמש במחשבים – ההצעה המקורית שלי היתה להטיל מטבע. ההצעה הבאה היתה להשתמש בייצוג העשרוני של מספר לא רציונלי שלטעון שמחשב יצר אותו רק כי השתמשמתי במחשב כדי לחשב אותו זו מתיחה חזקה מאוד של האמירה המקורית. הייצוג העשרוני של השורש החמיש של e קיים בלי תלות בתוכנה שבה אני משתמש כדי לחשב אותו.
(היה סמוך ובטוח שהרצפים של שליפות זוג כשתיתן לאדם להחליט באופן "אקראי" ייטו להיות קצרים ונדירים מהרצפים האלה בתהליך אקראי או פסאודו אקראי באמת).
מהגג: ההסתמכות על האינטואיציה היא בדיוק מה שיאפשר לשחקן טוב לקרוע לך את הצורה, אבל שחר יצליח (אם הוא צודק) לנצח בחצי מהמשחקים.
אני רוצה לסבך קצת את הזוג או פרד.
נניח שאנחנו לא מחליטים אילו אצבעות להוציא אלא אנחנו משחקים עם קלפים במקום אצבעות. יש לנו חמישה קלפים במקום חמש אצבעות ואנחנו יכולים לא להוציא אף קלף, או להחליף מספר מסויים של קלפים. כלומר אנחנו משחקים פוקר.
מה שאני רוצה לומר כאן שבהינתן שזוג או פרד הוא לא תרגיל באקראיות שבא לדמות הטלת מטבע (מי תוקף ראשון בכדורגל, מי זורק ראשון אג'ואים/גוגואים וכו') אלא משחק תחרותי (כמו שאמר מודי, אני עצמי לא שמעתי על אליפות זוג או פרד) – אפשר שיהיה גם בזוג או פרד מקום לאסטרטגיה ולמומחיות בדיוק כמו שיש בפוקר. כלומר האסטרטגיה לא מבוססת רק על הנחות הרציונליות והמידע המשותף של תורת המשחקים אלא גם על קריאת שפת הגוף של היריב ועל "שינוי" או התאמת אסטרטגיה. ואז שחר לא ינצח את אלוף העולם אלא יפסיד. מאידך, הוא ינצח את הילד התמים שנוטה במובהק להוציא יותר זוג מפרד (או להפך).
"בנוגע לשם – מדובר בבחירה מוזרה מאוד, שתי האפשרויות ככל הנראה קבילות, אבל מעט מלאכותיות (מישהו מכיר שימוש בפרד\פרט לציון אי-זוגיות שלא בשמו של המשחק?)"
א. פרטי (על כל הטיותיה).
ב. ההתנוונות של הצורה פרט במשמעותה "אי זוגי" (להבדיל מהמשמעות "יחיד") היא בדיוק הסיבה ששם המשחק עבר מוטציה ל"זוג או פרד", שאמנם אין לו שום משמעות הגיונית, אבל לפחות שתי המילים מזוהות (תהייה: ילדים היום יודעים מה זה פרד?), וגם, יש להודות על האמת, נוח יותר להגות את שם המשחק ככה. מכיוון שמטרת המשחק ברורה, אפשר לייחס ל"פרד" את המשמעות של "האופציה שהיא לא זוג".
כל זה לא משנה את העובדה שכשמשחק תורגם לעברית לראשונה, המילה פרט הייתה המילה המקובלת לאי-זוגי, או לפחות המילה הרשמית לאי-זוגי.
אורן: לא מסכים איתך ובגדול. אין כאן שום דמיון לפוקר ולו בגלל שכל סיבוב כולל אך ורק צעד אחד של שליפה. בפוקר הסיבוב עצמו מאפשר לשחקנים טובים לאמוד את מצבם ביחס לשחקנים אחרים. בנוסף (או בעצם בהמשך) – מעבר למיומנות בסיסית למדי של הבנה אילו קלפי כדאי להחליף היתרון של שחקן טוב לא יתבטא העובדה שתהיה לי יד טובה יותר ברוב הפעמים אלא ביכולת שלו לממש את היד שיש לו בצורה המטבית. כל זה לא רלוונטי לחלוטין באליפות זוג או פרט.
דובי: המקור ברור לי, אבל לא ידעתי שזו אכן היתה המילה המקובלת פעם. בכל מקרה, יש מכון ייעוץ זוגי (או משהו דומה) בשם זוג או פרד שמסתמך על הניגוד בין היות בזוג לבין היות פרודים, כך שגם לפרד יש הצדקה לא רעה בכלל.
אורן: לא אמרתי דבר כזה, וגם אני לא שמעתי על אליפויות.
שחר: יכול להיות שבאליפויות החוקים שונים במקצת: אפשר לבחור כמה להמר כל פעם, או משהו כזה. מצד שני, לא נראה לי שזה משנה משהו כי איו יותר מדי אסטרטגיות מעניינות.
ברור שפוקר מורכב בהרבה. מה שאמרתי הוא שאני מוכן לקבל את הטענה שיש בזוג או פרד גם מקום לאסטרטגיה רציונלית (מוגבלת) ולאינטואיציה. אני כמובן סייגתי א תזה למשחק רב סיבובים ולא לסיבוב בודד של זוג או פרד.
שחר, אני לא חושב שתנצח שחקן מיומן. באבן, נייר ומספריים שהוא אמנם משחק מורכב יותר אבל גם בנוי כביכול על אקראיות, יש תחרויות רשמיות ויש מומחים שמצליחים לנצח הרבה יותר מסתם מתחרים אקראיים. זה בגלל שההתנהגות שלנו לא אקראית לגמרי וגם בגלל היכולת לזהות את שפת הגוף של המתמודד שמסגירה את הבחירות שלו.
אם כבר פוסט מוזר, אז הנה גם הפניה למקור לא שיגרתי.
ז'אק לקו בסמינר על המכתב הגנוב של פו כותב על היכולת ה"פסיכולוגית" הנדרשת למשחק זוג או פרט.
את הטקסט אפשר לקרוא בספרייה הקרובה לביתכם. זה נמצא בסמינר II.
בגירסה שלו המשחק פשוט יותר – צריך לנחש האם היריב מחזיק מספר זוגי או פרטי (?) של גולות ביד. בסיפור של פו הבלש מספר שכל מה שצריך בשביל לנצח במשחק לאורך זמן הוא להתחיל בניחוש אקראי. בסיבוב הבא, אם היריב טיפש הוא פשוט יחליף את הבחירה. אם הוא חכם, הוא יבין שזה יהיה הניחוש ההגיוני ולכן יחזור על הבחירה הקודמת. וכן הלאה.
הפואנטה לאחר פיתולים טקסטואליים ארוכים היא שאין וכן הלאה. אם היריב חכם הוא יבין את השיקול בעד בחירה זהה ואת השיקול בעד בחירה שונה, ואין שום דרך להכריע ביניהם. קצת כמו מה שקורה בנסיכה הקסומה.
מקווה שלא סיבכתי את הדיון מעבר לנדרש.
גיל: אני חושד שאני מתחיל להבין משהו. אני בטוח שאוכל לנצח את גדול השחקנים בעולם בחצי מהמשחקים בינינו (הסתברותית) אבל זה כמובן לא מספיק כדי להעפיל שלבים בתחרות יוקרתית, ולכן משתתפי התחרות לא יכולים להרשות לעצמם לבחור באסטרטגיית האקראיות.
באיחור: כן, האמת היא שאם יהיה לי כוח אולי אנסה לכתוב בצורה מסודרת את סדרת האסטרטגיות האפשריות בזוג או פרט (מעניין שיש בעצם אסטרטגיות "התקפיות" ואסטרטגיות "הגנתיות"). בדיוק כמו בתיאור שלך, הסדרה הזו מחזורית ומייאשת.
שחר, אני לא בטוח שזה נכון. גם אם הבחירה שלך אקראית זה לא אומר שאי אפשר "לקרוא" אותה ממך. יכול להיות שאם קצת אימונים אפשר גם לעבוד על הקטע הזה.
כמעט חמישים תגובות על משחק ואף אחד לא הזכיר את תורת המשחקים?
1. משחק זהה לזוג או פרט (בגירסה הפשוטה של אצבע אחת או שתיים) הוא "התאמת מטבעות פני": http://en.wikipedia.org/wiki/Matching_pennies.
אכן, זו דוגמא למשחק שבו ש.מ. נאש היחיד הוא אסטרטגיה מעורבת (כלומר, הסתברותית) של חצי-חצי.
2. אורן: גם אתה צודק. חצי-חצי הוא שיווי משקל של משחק חד-פעמי תוך הנחה שהמתחרים יכולים לייצר אסטרטגיות רנדומליות (למשל בעזרת מטבע הוגן או בשיטות המוזרות שהציעו למעלה). עם זאת, מחקרים מראים שבני אדם אכן כושלים בניסיון לייצר סדרות מספרים רנדומיות (סליחה שאין לי כוח לחפש לינק). במקרה כזה, ובמיוחד כאשר המשחק הוא חוזר, יש בהחלט מקום לנסות לזהות את האנומליות הללו של השחקנים ולהגיב אליהן. מכיוון שילדים מסתובבים בחבורות יחסית קטנות, אז יש את אלמנט המשחק החוזר, וגם אני חושב שזה בהרבה מובנים מרכז המשחק. אני זוכר את זה מהילדות דווקא מאבן-נייר-ומספריים, שהוא משחק זהה רק עם שלוש אפשרויות (ולכן ש.מ. נאש הוא בערבוב שליש לכל אפשרות) – בגלל שהייתי גדול מאח שלי הצלחתי ללמוד את ההטיות שלו טוב יותר ותמיד ניצחתי.
3. ואגב, באבן-נייר-ומספריים *יש* תחרויות: http://www.worldrps.com/index.php?Itemid=73&id=207&option=com_content&task=view (ומכיוון ששם אין את האלמנט החוזר, כי יש הרבה מתחרים, הרי שזה סוג של מקביל לאגודה של החבר'ה שחושבים שהעולם שטוח וכאלה).
קטנה על עברית –
למעשה , הסיבה להגייה "פרד" במקום פרט אינה קשורה כלל לעובדה שהמילה פרט אינה מוכרת , ובמיוחד לילדים , (כפי שנרשם מעליי) אלא לתופעה לשונית שבה האות ר' (שהיא אות גרונית) משפיעה על הגיית האות ט' ו"הופכת" אותה ל ד' (שאף היא גרונית). בדומה למילים מטבח – שאנו הוגים כמדבח , או סבתא – ספתא.
יש אתר, שכרגע אני לא מוצא אותו שבו אתה מקליד רצף של 1 ו-0. לפני כל הקלדה שלך הוא מנחש (בסוד) מה תקליד ואז אומר לך האם ניחס נכון. מנסיון שלי לשחק במשחק, גם אם ניסיתי ליצור רצף "אקראי" הוא ניחש נכון יותר מחצי מהפעמים.
אתה בכיין שזה לא ייאמן!
{זוג, זוג} = זוג
{פרט, זוג} = פרט
{זוג, פרט} = פרט
{פרט, פרט} = זוג
כל ניסיון להציג את זה בצורה אחרת – כאילו אנשים חושבים על אצבעות – זה הטעיית הציבור, ואני לא מאמין שכתבת על זה פוסט שלם. לאור העובדה שהעמדות "אצבע אחת, 3 אצבעות, 5 אצבעות" שקולות טקטית זו לזו, ובאופן סימטרי גם העמדות הזוגיות – המשחק בסדר גמור.
חוץ מזה שאבן נייר ומספריים ב-2 מתוך 3 זו שיטה ראויה והולמת יותר ליישב סכסוכים.
משה: אתה צודק, כמובן, אבל לא מדובר רק בהגייה תוך כדי שיחה, אלא גם, כמו שכמה תגובות בדיון מעידות, על בחירה בגירסת ה"פרד" גם אצל אנשים משכילים ובוגרים וגם בכתב.
ארז: מעניין, אנסה מתישהו לחפש אותו.
גיא: תודה לך על שפקחת את עיניי. באמת לא שמתי לב קודם. ועכשיו הרשה לי לתהות, האם אתה חושב שילדים בכתה א', שמכריעים ביניהם ויכוח באמצעות המשחק, מתנהגים בהתאם לאמת העמוקה שחשפת בפניי פתאום.
אין ברירה – תאלצו לתפוס כמה ילדים יצוגיים ולהכריח אותם לשחק זוג או פרט במשך כמה ימים ברציפות כדי לקבל מדגם מספיק גדול שיראה אם התפלגות האצבעות היא חצי חצי בין מספרים זוגיים לאי-זוגיים, חמישית מהמקרים לכל אחת מחמש האופציות (או שישית, אם מרשים אפס, או רבע אם אוסרים גם אפס וגם חמש – אבל אז זה גם 50-50 לזוגי-אי-זוגי), או התפלגות אחרת שאינה מניבה 50-50 לזוגי-אי-זוגי (למשל, שליש לכל אחת משלוש האופציות ה"נוחות", 1, 2 ו-5).
למחקר המלא תוכלו להוסיף מחקר אנתרופולוגי איכותני על מקומו של המשחק בתרבות הילדים, ואז לפרסם אותו בכתב העת ליישוב מחלוקות שהיה עדיף ליישב באבניירו (או עדיף: מכות).
דובי: יש לי, כאמור, ניסויים מורכבים בהרבה בתכנון. אבל התגובה שלך בסך הכל מעידה על מרמור אחרי שגילית ש"זוג או פרט" מנצח פיצה.