אז חלפתי הבוקר על פני גירסת החוצות של הבאנר הזה שמככב עכשיו בערוצי הבריאות של אתרי האקטואליה, ומשהו צרם לי.

ישב הפרסומאי של מכבי עם סקר שביעות רצון של מבוטחי הקופות השונות. הסקר מחמיא למכבי, זו הקופה ששיעור המבוטחים המרוצים בה גבוה מזה של כל הקופות האחרות, זה מצויין בשביל לבנות על זה קמפיין, אבל זה גם קצת מסורבל. נו, טוב חשב לו הפרסומאי הממולח, בואו נהפוך את סדר הדברים ונציב כסיסמא את הקביעה “אם אתם מרוצים כנראה שאצם במכבי!”, ומייד אחר כך (בבאנר זה אחר כך כרונולוגי) נצטט משהו מעורפל תוצאות הסקר.

רק שהסיסמא הזו, למרבה הצער, היא פשוט שקר, או לפחות סתם קשקוש.

לא הצלחתי למצוא את הסקר המדוייק שעליו מדברת הפרסומת, אבל מצאתי תוצאות סקר דומה שנערך ב-2010, כמו כן מצאתי את נתוני ביטוח לאומי על התפלגות המבוטחים בין הקופות השונות בשנת 2009. ריכזתי אותם לטובתכם בטבלה שלהלן**.

בהחלט ייתכן שחלו שינויים קלים לכאן או לשם בזמן שחלף מאז הסקר ומאז פרסום נתוני הביטוח הלאומי, אבל השינויים האלה הם בשוליים, הם לא ישנו את התמונה הכוללת, והתמונה הכוללת מופיעה בעמודה האחרונה של הטבלה.

לפי התמונה הזו מסתבר ש-51% מהמבוטחים המרוצים הם בקופת חולים כללית, בדיוק פי שניים מ-25.5% מהמבוטחים המרוצים שנמצאים במכבי. מכאן שאם אתם מרוצים מקופת החולים שלכם הרבה יותר סביר שאתם בכללית ולא במכבי. זה לא פוגם ביתרון הבסיסי שמכבי יכולה להתגאות בו – האחוז הגבוה ביותר של מבוטחים מרוצים, זה רק הופך את האופן שבו בחר מי שבחר להעביר את המסר הזה לשקר גס.

וזה מעצבן אותי.

* טוב, אתם כבר מבינים שגם כאן כיוון הגרירה הוא שגוי.

** בחיי שאין לי כוח להיכנס לשאלה כמה משמעות אפשר להעמיס על הבדלים זניחים כאלה בפרמטר אמורפי כמו הצהרה על שביעות רצון, אני מוכן לקבל את הנתונים כפשוטם לצורך הדיון הנוכחי.

Related posts:

1. מטא-פירסומת, היפר-תקשורת (וגם דודו טופז)
2. הסוד האמיתי של ויקטוריה
3. הרהורי זנב ארוך – שתי מפלגות, שק אחד

כיוון שהאפשרות עלתה מחדש, כאמור, הייתי צריך לגשש מעט בכיוון של פוסט דוקטורט. לא בטוח שזו המסגרת המתאימה ביותר. אנחנו, אחרי הכל, היינו כאן נטע זר. שני פיזיקאים עם רקע מתמטי מוגבל. חשוב היה להם לשמוע אותנו, אנחנו בעצם ממציאים עבורם בעיות חדשות לפתור, השערות חדשות להפריח, להוכיח או להפריך. אנחנו גם מעודדים אותם מעט, מחזקים תחושת עליונות מוצדקת מצד אחד, נותנים איזה תוכן שמתקשר לעולם האמיתי למאמצים האבסטרקטיים שלהם מצד שני.

וכדי לגשש, אין ברירה, הייתי חייב להתחזות. לא שמשהו מוחשי צמח מזה לעת עתה לפחות, אימיילים משמעותיים עוד יישלחו בבוא היום, אם יבוא, אבל רק כדי להרהיב עוז הייתי צריך לעטות את המסכה, לתהות על שאלות פתוחות ולהנהן גם כשהתיאור הטכני היה, בבירור, שתיים או שלוש רמות מעל הידע הנוכחי שלי.

זאת לא תסמונת, במקרה הזה לפחות, זו התחזות טהורה, אבל נדמה לי שכולם מודעים לה, זה חלק מחוקי המשחק.

הוא שוב עלה לדבר, אחד משני המשתתפים היחידים שקיבל את הכבוד של שתי הרצאות. את חרדת הקודש של הרצאת הפתיחה החליפה עייפות מרושעת מעט, לרגע נדמה היה לי שאנשים יעוטו על ההזדמנות, יבקשו להחזיר לו על שאלות לא ענייניות שהמטיר עליהם, לתפוס אותו בקלקלתו. למעט הערה או שתיים, מוצדקות לחלוטין ברמה העובדתית, אבל גם אכזריות במידת מה, זה עבר בשלום. בניגוד לכל הדוברים האחרים ניכר היה שהוא מנסה להאיץ את מחוגי השעון בנעיצת מבטיו, מייחל לסוף.

אני לא יודע אם הוא באמת מתחזה. קשה, קשה מאוד להעריך את מצבו. הוא היה בדיוק במקום הנכון, בדיוק בזמן הנכון (ככל הנראה גם בדיוק עם המנחה הנכון). המאמרים שלו משנות השמונים הם באמת מבריקים. אני יכול להבין, לנסות להבין לפחות, מה זה יכול לעשות למישהו. לדעת בשלב מוקדם מאוד של הקריירה שלך שלעולם לא תשחזר את השיא ההוא. בתחומים אחרים הוא היה הופך לכוכב בינלאומי עם הישגים כאלה, יכול היה לבלות בעיקר בטיולים חובקי עולם ובשחזור סיפור ההצלחה שלו. בתחום הצר הזה, מסתבר, עד שהוא מוזמן לאירוע כזה, מדובר בסדנא מיניאטורית עם פחות מעשרים משתתפים. רובם, הו האימה, יודעים להסביר לו את העבודה שלו, לרבות הפערים והפגמים שהיו בה ואת כל מה שהתחדש מאז.

בתגובות לפוסט הקודם בנושא התפתח דיון מעניין, בעיקר ביני לבין hillanoga בהמשך לדברים שכתבתי לאורן. הדברים שאומר כאן, אני מתעקש לציין, הם רק מחשבות ראשונות, לא מגובשות, בעקבות תופעה מפתיעה ששמתי לב אליה.

הדוגמא שאני רוצה להיאחז בה היא מעט (טוב, מאוד, לפחות במונחי הבלוג הזה) טכנית: העובדה שסכום מינקובסקי של קבוצת קנטור עם עצמה הוא כל הקטע הסגור [0,2]. זו תוצאה מפתיעה מאוד, לפחות בשמיעה ראשונה (אתם יכולים להאמין לי אם אין לכם כוח להתעמק). למעשה, כששמעתי עליה בפעם הראשונה נולדה, הלכה למעשה, ההצדקה לכל עבודת הדוקטורט שלי.

בהרצאת סיום הדוקטורט, לפני קהל של פיזיקאים, טרחתי להתעכב על ההוכחה (או לפחות על מה שמתמטיקאים היו מעדיפים לכנות סקיצה של ההוכחה). ידעתי שקהל היעד שלי, ברובו, לא מכיר את התוצאה הזו, חלקו אפילו לא ממש מכיר את המושגים הבסיסיים. כשישבתי להכין את ההרצאה שהעברתי שלשום בחרתי לדלג על הנקודה הזו. בקרב באי הסדנא, הנחתי (ובמידה רבה של צדק) מדובר בתוצאה שהיא מוכרת, אפילו טריוויאלית.

אבל אז, במושב הערב שלפני, מישהו שעוסק בהוכחות אנליטיות אבסטרקטיות לחלוטין של טענות שנובעות מתוצאות המחקר שלנו כלל בהרצאה שלו שקף שנראה בדיוק כמו זה שנמחק שעות אחדות קודם מהמצגת שלי. לא רק שהוא הראה את השקף הזה, הוא אפילו טרח להסביר אותו בפירוט יחסי, למרות שגם אצלו, בדיוק כמו אצלי, לא היה מדובר בהוכחה מלאה, רק בתיאור כללי, מאוד לא מדוייק, של דרך אינטואיטיבית יחסית להבנת ההוכחה.

באותו רגע ידעתי שאני מחזיר את השקף למצגת שלי, ולו כדי לדלג עליו ולהזכיר לכולם ש”את זה כבר ראינו אתמול”, להוסיף מעט אשראי מתמטי להרצאה שלי.

הדגמה אלגנטית של ההוכחה באתר ההדגמות של Mathematica

מאותה נקודה הוא המשיך לצלול עמוק יותר ויותר לתיאוריה של מערכות דינמיות. במידה רבה אני חייב לציין שאין לי מושג קלוש על מה בדיוק הוא דיבר אחר כך. פה ושם הבנתי את הקשר של תוצאות שלו למחקר שלנו, בעיקר בזכות שיחה מקדימה שניהלתי איתו. אבל כשהוא דיבר על הנושא שלשמו הוצג השקף המדובר שמתי לב למשהו.

אני שמחתי מאוד לגלות בזמנו את ההוכחה הזו כי היא פתחה בפניי כיוון מחקר חדש. הבנתי אותה, אבל היא נראתה לי כמו קסם. יכולתי להבין למה היא פועלת, אבל לא הייתי מסוגל להכליל אותה מעבר לכמה צעדים טריוויאליים. עבורו, כך זה נראה לפחות, ההוכחה הזו היתרגמה באופן מיידי להבנה של מושג חדש – העובי (thickness) של קבוצות קנטור, ההבנה הזו עמדה בבסיס חלק ניכר ממה שבא אחר כך. אני יודע לצטט (טוב, ככל הנראה אצטרך להציץ ברשימות) את ההגדרה המדוייקת של המושג הזה, יכול להיות שאפשר לטעון שאני מבין אותה ברמה מסויימת, אבל זה עדיין נראה לי כמו קסם. לו זה נראה אחרת, מבחינתו, ברגע שהבין “מה באמת קורה” בדוגמא הפשוטה כל השאר הוא רק חזרה בוריאציות קלות.

אני לא בטוח עד כמה כל זה קשור, אם בכלל, לתסמונת המתחזה. אבל ראיתי את התופעה הזו לא מעט פעמים. מאמרים מורכבים מאוד שמתעכבים בארכנות על חלק שהוא גם פשוט, וגם נראה כשולי למדי, מרצים שמתעקשים לבזבז זמן יקר על משהו שהקהל מסביר שהוא ידוע. נדמה לי שהדברים האלה קורים, במידה רבה, בגלל היסטוריה אישית. אנשים נוטים לזכור בחיבה את המקרים האלה, הרגעים שבהם הבנה של משהו, לאו דווקא חשוב ומרכזי, הביאה להתחדדות פתאומית של איזו תמונה שהיתה מעורפלת בראשם עד אז.

הרגע הזה, אני חושב, הוא הרגע שבו אדם מצליח, ולו בכיוון אחד, מצומצם מאוד אולי, להיפטר מתסמונת המתחזה. ואולי בדיוק להפך, אולי זה הרגע שבו הוא הבין שהוא יכול להתחזות בלי להיתפס. אולי שני הניגודים האלה הם אותו דבר.

Related posts:

1. צו התנועה – מחשבות ראשוניות
2. מחשבות פזורות על חוק גודווין
3. הרהורי זנב ארוך – שני כדורים, שק אחד: שלב ההוכחה

יש דיון מרתק סביב השאלה המטרידה “מה המדינה מסתירה מאחורי המשוואה?”.

את הדיון הזה תוכלו למצוא בבלוג של גדי אלכסנדרוביץ’* שיצא להגנת המתמטיקה, או אולי יותר נכון, יצא כנגד הנסיון להפוך את המשוואות לנציגות הרשע עלי אדמות. בתגובות לפוסט המצויין של גדי (איתו הסכמתי בלב שלם) התפתח דיון שגרם לי לחשוב לא מעט על עמדתי, ולתהות עד כמה מדובר בתגובה פבלובית של מי שמגיע מתחום המדעים המדוייקים.

חלקים נוספים מהדיון תוכלו למצוא גם בתגובות לפוסט הראשון של תום על ועדת טירקל. זו הזדמנות מצויינת להגיד לכם לרוץ ולקרוא את שני הפוסטים של תום על טירקל לפני שאתם מתפנים להמשיך לקרוא את הפוסט המעט טרחני הזה (הנה החלק השני, והשלישי בדרך).

אבל לא זה העניין שבו אני רוצה לדון כרגע.

בבסיס הדיון עומד קובץ מסמכים צה”ליים (pdf) שהעביר מתאם הפעולות בשטחים לידי ארגון גישה ובו פירוט של מדיניות הכנסת סחורות לרצועת עזה. רבים מתוקפי המדיניות הישראלית בחרו להעמיד את עצם הימצאותן של משוואות במסמך הזה כמסמלות את המפלצתיות של מנגנון טכנוקרטי ובירוקרטי.

אני מבין את התגובה הרגשית הזו, אבל כאמור, לא שותף לה, לא במלואה לפחות.

רוב ה”נוסחאות” באותם מסמכים הן וריאציה לא מאוד מעניינת על מהירות כפול זמן שווה דרך המוכרת לכולנו. פה ושם, כשהנוסחאות נוגעות למלאי הבשר או למלאי המזון המיועד לחיות אנחנו נתקלים בנוסחאות מעט עמוסות יותר (גם אם לא מורכבות יותר) שמסתמכות גם על נתונים (ככל הנראה ידועים ואמינים) על צריכת המזון של בעלי חיים ועל קצב הגידול שלהם. המורכבות הגדולה ביותר מופיעה בחישובים הנוגעים לעופות ולמזון המיועד להם.

אבהיר כבר עכשיו: איני לולן ואיני בן לולן, ובהתאם, אני מוכן לקבל את כל ההנחות המובלעות במסמך כאמת בלתי-מעורערת, גם אם אטרח להעלות איזו תהייה או שתיים בנוגע אליהן בהמשך.

בנספח ג’, חישוב מלאי מזון בע”ח, מופיעים הנתונים הבאים בנוגע לצריכת מזון היומית של עופות:

מס’ ביצי הרבייה שהוכנסו לרצועה לפני 3-6 שבועות = X.

מס’ האפרוחים שבקעו מביצי הרבייה שהוכנסו לפני 3-6 שבועות = 0.7X.

צריכת מזון אפרוחים C=0.7X*0.1.

מס’ האפרוחים שבקעו מביצי הרבייה שהוכנסו לפני 6-9 שבועות והגיעו לבגרות M*0.8*0.7=M*0.56.

צריכת מזון העופות בק”ג D=0.56M*0.25.

את רוב ההנחות המובלעות בנתונים שלעיל, כאמור, אני מקבל ללא ערעור – צריכת המזון היומית ההמוצעת של אפרוחים ושל עופות, סיכויי הבקיעה של ביצי הפרייה וסיכויי ההישרדות של אפרוחים. מה שעדיין מתמיה אותי הוא ההתעלמות המוחלטת של החישוב הזה מהטלה של ביצים מופרות בשטח הרצועה. לפי החישוב הזה מקורם של כל העופות ברצועה הוא בביצי הפרייה שהוכנסו אליה. יכול להיות שזה אכן המצב, יכול להיות שלא. אין לי מושג.

אם לסכם את ההנחות הנובעות מהנתונים שלעיל הרי שהן מחלקות את העופות לאפרוחים שצריכת המזון היומית שלהם היא 100 גר’ ושבקעו מביצים שנכנסו לרצועה לפני 3-6 שבועות, ולעופות שצריכת המזון היומית שלהם היא 250 גר’ ושבקעו מביצים שהוכנסו לרצועה לפני 6-9 שבועות.

כיוון שאין בחישוב אזכור לצריכת מזון של עופות מבוגרים יותר אני מניח ש-9 שבועות לאחר הגעת הביצים לרצועה מגיעים העופות לבגרות מלאה, נשחטים, והופכים מצרכני מזון לבע”ח ל”מלאי פטם”.

נספח ד’ הסמוך, למרבה המזל, עוסק בדיוק באותו “מלאי פטם”, ובמרכזו הנוסחא

X+0.56R+Y-C=Z

כאשר C הוא הצריכה היומית של בשר עוף (פטם) על-ידי תושבי הרצועה, Y הוא המלאי הקיים ברצועה (ללא הכמות שהוכנסה באותו יום), R הוא מספר ביצי הרבייה שהוכנסו לרצועה 9-10 שבועות לפני יום החישוב, ו-0.56R, בהתאם לנספח ג’ הוא מספר העופות שבקעו מביצי הרבייה ואף זכו להגיע לבגרות. כל הניסוחים לעיל הועתקו מהמסמך המקורי, ההדגשות הן שלי.

כפי שעולה מן ההדגשות שלי בפסקה הקודמת, וכפי שמופיע במפורש בכל אחד מהנספחים למסמך, חישוב המלאי מתבצע על בסיס יומי. זה בסדר, זה אפילו טוב, חשוב להיות עם אצבע על הדופק, לא לגלות שהמלאי התקרב ל”קו התראה תחתון” (מינוח של מתפ”ש) באיחור גורלי של כמה ימים. אבל אם החישוב הוא על בסיס יומי הרי שאנחנו בבעיה. כי בכל יום, כך מסתבר הנוסחא מוסיפה למלאי הפטם שברצועה 0.56R, כאשר R הוא, כזכור, מספר ביצי הרבייה שהוכנסו לרצועה 9-10 שבועות לפני יום החישוב.

איך שלא נהפוך את הנתונים האלה (אלא אם מספר ביצי הרבייה שמוכנסות לרצועה הוא אפס) יוצא שהנוסחא הזו סופרת כל ביצה וביצה שבקעה ושהאפרוח שבקע ממנה הגיע לבגרות (כלומר 0.56 כפול מספר הביצים שהוכנסו) שבע פעמים כתוספת למלאי הפטם (בכל אחד משבעת הימים שבהם הביצה נכללת בספירת הביצים שהגיעו 9-10 שבועות לפניו).

סביר להניח שזו טעות טיפשית, אולי אפילו טעות הקלדה. יכול להיות שנשמטה שם החלוקה הראויה ב-7 נניח, או שמישהו הוסיף ברגע האחרון את הטווח של 9-10 שבועות במקום לציין 9 שבועות במדוייק. אבל לעזאזל, אם הנוסחאות האלה אמורות לצייר תמונה של שיקול דעת הגיוני אפשר היה לצפות מהן לרמה מינימלית של הגיון, לא? במלים אחרות: אף אחד, סביר להניח, לא באמת עובד על בסיס המשוואות האלה.

עוד משהו, אולי מטריד יותר, מסתתר מאחורי כל אותן נוסחאות. צריכת המזון היומית של אפרוח, של עוף בוגר, של פרה, של עגל ושל כבש או עז ברצועה מופיעה במפורש, כנתון מספרי (100 גר’ ליום עבור אפרוחים למשל, 12 ק”ג ליום עבור פרות). ההנחה ברורה: צריכת המזון בגידול של חיות למאכל היא נתון קשיח, 12 ק”ג ליום עבור פרה. לא משנה אם מדובר בפרה ישראלית או בפרה עזתית. הצריכה היומית של  תושב עזה ממוצע, מנגד, היא תמיד איזה A עלום שחושב ע”י הלמ”ס הפלס’. נדמה שלמישהו חשוב מאוד לציין בפנינו שהפרות ברצועה מקבלות תזונה הולמת, ובאותה מידה, כך נדמה, חשוב לו לטשטש את צריכת הבשר של בעלי חיים אחרים ברצועה, בני אדם קוראים להם. (הפיסקה הזו נמחקה עקב קריאה שנייה של המסמך בה גיליתי שפספסתי חלק מהמידע. שאלות נוספות עלו בקריאה שנייה, אני מקווה להגיע אליהן מאוחר יותר).

* ותודה נוספת לגדי על דיון צ’ט שעסק בנקודה הבעייתית של החישובים שצויינה כאן. יחד עם זאת, גדי לא ראה את הפוסט במלואו, והיה ונפלו בו שגיאות האחריות המלאה היא שלי כמובן.

Related posts:

1. איך לא לדבר על המלחמה
2. הרהורי זנב ארוך – מבוא
3. עוד שתי הערות בשולי המלחמה

הגיע הזמן, כאמור, להסתכל, ולו במבט שטחי משהו כרגע, על תוצאות הרצה של מודל הבלוגוספירה. הנה התוצאה של הרצה אחת לאחר שהנחנו למיליון קוראים לבחור בלוג (או לחילופין, ובלי לאבד יותר מידי דיוק, לעשרים אלף קוראים לבחור חמישים בלוגים כל אחד) לפי המודל.

לאחר שהסתיימה הרצת המודל מויינו הבלוגים לפי מידת הפופולריות שלהם, כך שכעת בציר הם מסודרים לפי פופולריות יורדת ובציר מופיע מספר ה'קוראים' שבחרו בכל בלוג.

אין שום דבר בולט לעין בגרף שקיבלנו, בבחינה שטחית קשה מאוד להחליט אם, ועד כמה, הוא מצדיק את הטענה של שירקי בדבר האי-שיוויון שיוולד מתוך המודל הזה, ודאי שלא את הטענה שהתוצאה היא התפלגות המאופיינת על-ידי חוק חזקה. אפשר, כבר עכשיו לציין שאי-שיוויון כלשהו אכן מופיע כאן, שכן השיפוע של הגרף גדול הרבה יותר באיזור הראש שלו, כלומר פערי הפופולריות הם קיצוניים יותר כאשר אנחנו בוחנים את הלהיטים, אבל מכאן ועד למסקנה המקורית של שירקי עוד יש דרך לא קצרה.

בכל מקרה, לא אלה התהיות שלנו כרגע. כזכור, אנחנו עוד לא בטוחים בכלל שיש טעם לדבר על תוצאה אופיינית של המודל. בפוסט הקודם אמנם השתכנענו שיש תוצאות אופייניות יותר מאחרות, אבל זה עוד לא מבטיח את קיומה של תוצאה אופיינית. כדי לבחון את השאלה הזו כל שעלינו לעשות הוא לחזור על הרצה של המודל מספר פעמים ולהשוות ביניהן.

הגרף הבא מציג את התוצאה שכבר ראינו, ויחד איתה (בצבעים שונים) את התוצאות של שתי הרצות נוספות.

נדמה לי שהתוצאות האלה אמורות לשכנע אותנו שהדאגה שמא אין תוצאה אופיינית היא מיותרת. באיזור הראש הפופולרי (עד לפריט ה-100) עוד אפשר להבחין בהפרשים בין תוצאות ההרצות השונות, גם הם לא משמעותיים, אבל בהמשך נדמה שהקווים מתלכדים כמעט לחלוטין.

למרות זאת, עוד מוקדם לשמוח. בהחלט ייתכן שיש תוצאה אופיינית להרצה שמדמה מיליון קוראים, אבל אף אחד לא מבטיח לנו שלא תתקבל תמונה שונה לחלוטין בהרצה שתבחן חצי מיליון קוראים או שני מיליון קוראים. בהחלט יכול להיות שהפופולריות של הלהיטים בראש תמשיך להתעצם על חשבון הבלוגים האחרים שיישארו זנוחים.

כדי לבחון את האפשרות הזו חילקתי את ההרצה של המודל למאה שלבים נפרדים, שבכל אחד מהם נוספים לבלוגוספירה עשרת אלפים קוראים. הגרף הבא מציג את ההתפלגות של ארבע קבוצות כאלה של עשרת אלפים קוראים: עשרת האלפים הראשונים (כחול), עשרת האלפים השניים (ירוק), עשרת האלפים העשיריים (אדום) ועשרת האלפים האחרונים, כלומר אלה שבין הקורא ה-990,000 לבין הקורא המיליון (תכלת).

כיוון שמספר הקוראים בכל שלב כזה הוא רק פי עשרה ממספר הבלוגים ניתן להבחין בבירור ב”מדרגות” לאורך הגרף, אבל כבר עכשיו ברור לנו שאופי הבחירה ודירוג הפופולריות נקבעים  על-ידי עשרת אלפים הקוראים הראשונים, אלה אחראים על שבירת השקילות המקורית בין כל הבלוגים ועל יצירת הטעם, או דירוג הפופולריות של הבלוגוספירה. כל הקוראים שיגיעו אחריהם כבר מצייתים לדינמיקה שנקבעה על-ידי אותם מאמצים מוקדמים.

טוב, הטענה שלעיל היא מעט קיצונית, ההפרש בין מספר הקוראים שמצטרפים לכל בלוג בכל אחד מהשלבים האלה הוא קטן מאוד (גם כשמסתכלים אך ורק על הלהיטים) והדירוג הפנימי המדוייק ביניהם עוד ממשיך להתנדנד מעט בין שלב לשלב, אבל די בגרף הזה ובאלה שקדמו לו כדי לשכנע אותנו שיש טעם לדבר על בלוגוספירה טיפוסית (שוב, הכל בהנחה שאנחנו מקבלים את נקודות המוצא של המודל) בלי להניח הנחות מוקדמות על מספר הקוראים, או על היחס בין מספר הקוראים לבין מספר הבלוגים (יכולתי להציג גם גרפים דומים מאוד כדי לשכנע אתכם שאין חשש לכך שנקבל דינמיקה שונה עבור מספר שונה של בלוגים, כל עוד לא נצטמצם לבלוגוספירה של בלוגים בודדים בלבד).

בשלב זה אפשר להתחיל לבחון את התוצאות, שכבר ברור לנו שיש להן משמעות, קצת יותר בעיון.

לא עכשיו כמובן, בפוסט הבא.

Related posts:

1. הרהורי זנב ארוך – כשכושי זנב
2. הרהורי זנב ארוך – N כדורים, שק אחד
3. הרהורי זנב ארוך – שני כדורים, שק אחד: שלב ההוכחה

בסופו של הפוסט הקודם, כזכור, קיבלנו תוצאה מפתיעה, והעלינו תהייה חשובה בעקבותיה.

התוצאה המפתיעה היתה שלפי האופן שבו מימשתי את התיאור של שירקי לצמיחתה של הבלוגוספירה (או של כל דבר אחר שנהוג להתייחס אליו כאל בעל זנב זנב ארוך) כל האפשרויות השונות לחלוקה של קוראים בין הבלוגים הן בעלות אותה הסתברות בדיוק. כפי שהדגשתי בסוף הפוסט הקודם:

ההסתברות לכך שכל אלף הקוראים הראשונים יבחרו לקרוא את הבלוג המפורסם תודעה כוזבת שווה בדיוק להסתברות שכל אחד מהאלף יבחר בבלוג אחר מהרשימה, ושווה גם להסתברות שחמש מאות בדיוק יבחרו בבלוג לא רואה בעיניים, שלוש מאות בבלוג אקלקטיקה אהובתי ומאתיים בבלוג לא שומעים!

והשאלה העולה מתוצאה זו היא עד כמה, אם בכלל, אפשר לייחס משמעות לתוצאות של המודל הזה, לכאורה, במצב שבו לכל האפשרויות השונות יש אותה הסתברות בדיוק, נקבל מצב שבו אין בכלל תוצאה אופיינית למודל. בכל פעם שנבצע סדרת הגרלות נקבל תוצאה שונה לחלוטין.

הדרך הטובה ביותר (וממנה התחלתי כמובן) להתמודד עם הבעיה הזו היא לבצע כמה סדרות הגרלות שכאלה, ורק אחרי שתתקבל תמונה ראשונית לנסות ולהבין אותה. למרות זאת, לפני שאקפוץ לתוצאות, כדאי לנסות ולהיזכר מה היא השאלה שמעניינת אותנו באמת (ותודה ליואב שהתחיל את הדיון הזה בתגובות לפוסט הקודם).

אותי, ככותבו של הבלוג, אמנם מרגשת מאוד האפשרות שכל אלף הקוראים הראשונים שיגיעו לבלוגוספירה יבחרו לקרוא דווקא אותו, אבל אותנו, כחוקרים מרוחקים וקרים שרוצים להבין את הדינמיקה של המודל (ואולי גם של הבלוגוספירה) האפשרות הזו לא ממש מעניינת. לא לבדה לפחות. אנחנו בהחלט מעוניינים בשאלה מה ההסתברות שכל אלף הקוראים הראשונים יבחרו בבלוג יחיד, אבל הרבה פחות אכפת לנו (כלומר לא אכפת לנו בכלל) אם זה יהיה דווקא תודעה כוזבת.

אם נמשיך מכאן קל מאוד לשים לב למסקנה מיידית (ומאוד לא אינטואיטיבית). ההסתברות שכל אחד מאלף הקוראים הראשונים יבחר בלוג שונה שווה להסתברות שכל האלף יבחרו דווקא בתודעה כוזבת, נכון, אבל המקרה שבו כל קורא בחר בלוג שונה הוא יחיד (אין מקרים שקולים לו מבחינתנו) בעוד המקרה שבו כל האלף בחרו דווקא בתודעה כוזבת הוא אחד מאלף מקרים שקולים לחלוטין מבחינתנו (זכרו שהנחנו בלוגוספירה של אלף בלוגים).  מכאן שההסתברות לכך שכל אלף הקוראים הראשונים בחרו באותו בלוג גדולה פי אלף מההסתברות שכל אחד מהם בחר בבלוג אחר.

התוצאה הזו, מפתיעה ככל שתישמע, לא צריכה לזעזע אותנו, מבט קצר בביטוי שקיבלנו כהסתברות לכל חלוקה של הקוראים בין הבלוגים תרגיע אותנו. ההסתברות לכך שכל קורא בחר בבלוג היא, שימו לב

.

המספר שבמכנה כל כך מפלצתי שאין טעם להתחיל ולנסות להבין אותו, והוא נשאר מפלצתי לא פחות גם כשבמונה יש אלף במקום אחת.

האפשרות השלישית אותה הזכרתי היא ובה חמש מאות קוראים בוחרים בלוג אחד, שלוש מאות בוחרים בלוג שני ומאתיים בוחרים בלוג שלישי היא כבר אחת מתוך מקרים שקולים לחלוטין עבורנו. גם כאן ההסתברות לקבל אחד מאותם מקרים נשארת זניחה, למרות שהיא גדולה פי מיליון (כמעט בדיוק) מההסתברות לכך שכל הקוראים יבחרו באותו בלוג, ופי מיליארד מההסתברות שכל קורא יבחר בלוג אחר.

בשלב זה, אם כן, כבר ברור שלמרות שכל האפשרויות לחלוקת קוראים בין הבלוגים הן שוות הסתברות, מבחינת הנסיון להבין את הדינמיקה של הבלוגוספירה, יש אפשרויות שהן סבירות הרבה יותר.

למעשה, אם נרחיק ונבחן את הבחירות של מיליון קוראים, סביר להניח שלא ממש יהיה חשוב לנו להבחין בין שני מקרים שנבדלים בכך שקורא יחיד עבר מן הבלוג השלוש מאות בפופולריות שלו לבלוג השלוש מאות ואחד בפופולריות שלו. יכול להיות, אם כן, שלמרות התוצאה מסוף הפוסט הקודם נקבל מצב שבו גם אם נחזור על סדרת ההגרלות שלנו כמה פעמים נחזור ונקבל תוצאות כמעט זהות, כאלה שמתוכן נקבל אפשרות של ממש לדבר על דינמיקה של הבלוגוספירה*.

לפני שנה בערך בחרה כרמל ויסמן לטבוע את מושג “הזנב המכשכש” כדי להתייחס לדינמיקה הבלתי-צפויה והכאוטית של הרשת. הנה מה שכתבתי אז בפוסט תגובה

אבל הזנב, כל זנב, ארוך, קצר או מכשכש, הוא יצור סטטיסטי. אין לו עניין באנקדוטות הרבות שמרכיבות אותו, לפחות לא בכל אחת מהן בנפרד, רק באופן המורכב שבו הן משתלבות זו בזו כדי ליצור תמונה שיכולה להיות צפויה ומשעממת גם כשהיא מורכבת מסיפורים אישיים מרתקים של הצלחה מסחררת ועלייה מאשפתות ובטרגדיות איומות של יצירות מופת שלא זכו לכבוד הראוי להן.

אנחנו אוהבים בדיוק את האנקדוטות האלה, גם כי קל יותר לדבר עליהן וגם כי הן נוגעות למהות האנושית שלנו הרבה יותר מניתוח סטטיסטי קר של הנתונים. אז אנדרסון פותח את הדיון בזנב הארוך בסיפור של ספר שהפך להיט עשור אחרי שיצא, וגורם לדור שלם של בלוגרים לחשוב שהזנב הארוך הוא ההבטחה שיום אחד יצליחו לזכות בהכרה עולמית, וויסמן מנגד, קובעת כי "הסיפור האמיתי של תכני מדיה חברתית הוא טרגדיה". ובעוד שקשה מאוד לערער על הטענות של שניהם צריך לזכור שכל הסיפורים האלה שמרכיבים את התמונה הכוללת, בין אם הם צפויים מראש ובין אם הם הפתעות מדהימות הם בסך הכל אוסף של אנקדוטות.

בדיוק כשם שהרעיון לפיו משק כנפי פרפר בנקודה כלשהי יכול, לכאורה, לגרום או למנוע סופת טורנדו בקצה שני של כדור הארץ אינו הופך את כל תחום המחקר המטאורולוגי למיותר וחסר תכלית, כך העובדה שתגובה טיפשית שלי על האן סולו דווקא היא מצליחה לגרום למישהו להרגיש טוב כמה שעות אינה מייתרת את הנסיון לבחון במבט מרוחק את השאלה איך נוצרת ואיך נצרכת התרבות במדיה חברתיות.

הזנב המכשכש, האהוב והמשמח כל כך, הוא שיכול להוביל דווקא את תודעה כוזבת להצלחה מסחררת ומפתיעה. הסטטיסטיקה של המודל (בין אם זה שאנחנו מסתכלים עליו או אחר, ריאליסטי יותר) היא זו שתספר לנו שמישהו, איפשהו, יזכה בהצלחה הזו.

הגיע הזמן להסתכל על התוצאות, נדמה לי.

בפוסט הבא.

* במונחים פיזיקליים הייתי מדבר אולי על צפיפות מצבים של אפשרויות החלוקה של הקוראים, אבל הפוסט הזה מתאמץ מאוד לא לגלוש לכיוונים טכניים מידי.

Related posts:

1. הרהורי זנב ארוך – N כדורים, שק אחד
2. הרהורי זנב ארוך – תוצאות ראשוניות
3. הרהורי זנב ארוך – שני כדורים, שק אחד* (עיקוף**)

טוב, זה עומד להיות הפוסט הטכני ביותר עד כה, ראו הוזהרתם.

ההוכחה באינדוקציה עבור המקרה של שני כדורים הצריכה אך ורק מעט אינטואיציה הסתברותית, סבלנות, וכפל של שברים פשוטים. ההוכחה שתובא בפוסט הזה, ראשית עבור שני כדורים, ואז עבור מספר שרירותי , לא תצריך הרבה יותר, אבל בהחלט ייתכן שמעט הקומבינטוריקה שלה נידרש תהיה יותר מידי עבור חלק מכם. לא נורא, תוכלו לדלג על החישובים ולקפוץ למסקנה הסופית. מי שמעוניין ללמוד מעט קומבינטוריקה באופן מרתק מוזמן לקפוץ לפוסטים הרלוונטיים אצל גדי אלכסדרוביץ' (ואז לקרוא גם על נושאים אחרים).

נתחיל, כמובטח, מטיפול חוזר במקרה של שני כדורים.

תזכורת: אנחנו מעוניינים לחשב את ההסתברות לכך שבסדרה של שליפות של כדורים מהשק נקבל כדורים אדומים ו- כדורים כחולים.

סדרה בת שליפות של כדורים מהשק היא למעשה סדרת הגרלות. בכל הגרלה כזו מספר הכדורים בשק גדל ב-1, מספר הכדורים הזה הוא גם המכנה של השבר שייתן לנו את הסתברות לשליפת כדור מצבע מסויים (ללא תלות בצבע). כיוון שההסתברות לסדרת שליפות מסויימת של כדורים היא מכפלת כל ההסתברויות שבדרך ניתן כבר עכשיו להסיק כי המכנה של השבר שייתן לנו את ההסתברות הינו מכפלה של מספר הכדורים שבשק בכל שלב. בשליפה הראשונה, כזכור, יש בשק 2 כדורים, ובשליפה האחרונה יש בו כדורים. המכנה, אם כן, הוא .

מה קורה במונה?

ובכן, כאשר שלפנו בפעם ה- כדור אדום מן השק, המשמעות היא שלפני השליפה הזו היו בשק כדורים אדומים (אותו דבר בדיוק נכון גם עבור כחולים כמובן). שימו לב שלא משנה באיזה שלב של סדרת השליפות התרחשה השליפה ה- המדוברת. מספר הכדורים מצבע מסויים מהווה את המונה לשבר שהוא ההסתברות לשליפת כדור מאותו צבע. כיוון שכפל הוא פעולה קומוטטיבית (כלומר, אין חשיבות לסדר בו אנחנו מבצעים מכפלות) וכיוון שההסתברות לסדרת שליפות נתונה היא פשוט מכפלת כל ההסתברויות דרכן עברנו, נקבל שההסתברות לכל אחת מהסדרות שכוללות שליפות של כדורים אדומים ו- שליפות של כדורים כחולים הינה (ושוב, לא משנה על איזו אפשרות אנחנו מדברים) .

כעת, כדי לגלות את ההסתברות הכוללת לכל השליפות שכוללות כדורים אדומים כל שנותר הוא לספור את כל האפשרויות האלה ולכפול את ההסתברות לכל אחת מהן במספר שנקבל. ספירת האפשרויות האלה היא בעיה קומבינטורית פשוטה ומוכרת. מספר הסדרות האלה נתון על-ידי הביטוי , ולפיכך נקבל כי

.

שוב קיבלנו את התוצאה שכבר ראינו בעבר.

היתרון הגדול של השיטה הזו על פני ההוכחה באינדוקציה הוא הקלות שבה היא תוכלל עבור מספר שרירותי של כדורים התחלתיים שלכל אחד מהם צבע שונה, . נשאל את עצמנו מה היא ההסתברות שלאחר שליפות נקבל כדורים מהצבע , כדורים מהצבע וכן הלאה עד ל- כדורים מהצבע .

ההכללה, מהמקרה הקודם, כאמור, היא מיידית לחלוטין. ההסתברות לכל סדרת שליפות כזו (בלי תלות בסדר הפנימי) נתונה על-ידי

בדיוק על-פי אותם שיקולים שהופעלו קודם למקרה של שני צבעים. מספר הסדרות האפשריות של שליפות כאלה גם הוא בעיה קומבינטורית פשוטה ומוכרת והוא נתון על-ידי .

נקבל, אם כן, את ההסתברות

ששוב, שימו לב, אינה תלויה כלל בשאלה מה הוא מספר הכדורים שנשלפו מכל צבע!

במלים אחרות, ממש כמו עם הקולות הצפים מהפוסט הקודם, לכל האפשרויות הקיימות יש הסתברות זהה. אם נחזור לרגע לדוגמת הבלוגים של שירקי, לפי המודל הזה ההסתברות לכך שכל אלף הקוראים הראשונים יבחרו לקרוא את הבלוג המפורסם תודעה כוזבת שווה בדיוק להסתברות שכל אחד מהאלף יבחר בבלוג אחר מהרשימה, ושווה גם להסתברות שחמש מאות בדיוק יבחרו בבלוג לא רואה בעיניים, שלוש מאות בבלוג אקלקטיקה אהובתי ומאתיים בבלוג לא שומעים!

על רקע התוצאה המפתיעה הזו עולה שאלה מטרידה מעט, לפחות למראית עין. האם יש טעם בכלל לדבר על תוצאה אופיינית של המודל הזה. האם לא כל הרצה שלו תניב תוצאה שונה לחלוטין מהרצות אחרות?

את התשובה לשאלה החשובה הזו נתחיל לבחון בפוסט הבא.

Related posts:

1. הרהורי זנב ארוך – שני כדורים, שק אחד: שלב ההוכחה
2. הרהורי זנב ארוך – שני כדורים, שק אחד* (עיקוף**)
3. הרהורי זנב ארוך – כשכושי זנב

לפני ארבע שנים, שזה בערך שני נצחים במונחי רשת, לדובי עוד לא היה בלוג בבלוגלי, שלא לדבר על דומיין משלו, אבל היה לו יומן בלייבג’ורנל, במסגרתו פורסמה רשומה נרגנת משהו על מאמר שיצא לדובי לקרוא במסגרת המחקר שלו, מאמר שעסק בדפוסי הצבעה בבחירות בגרמניה ובבריטניה.

קצפו של דובי יצא על פיסקה אגבית כמעט שנגעה לניתוח הנתונים של מצביעים שתמכו אך ורק באחת משתי המפלגות הגדולות לאורך תשע מערכות בחירות (בבריטניה) או ארבע עשרה מערכות בחירות (בגרמניה). מן הנתונים שמובאים בשני הגרפים קל להבחין כי חלק ניכר מן המצביעים הפגינו נאמנות מלאה (או כמעט מלאה) למפלגה אחת לאורך כל התקופה, אבל לאחר שמסירים את המצביעים הנאמנים מקבלים תמונה מעניינת בה הפיזור בין אופני ההצבעה השונים הוא אחיד כמעט לחלוטין (אחוז המצביעים שבחר ארבע פעמים לייבור וחמש פעמים שמרנים, נניח, דומה מאוד לאחוז המצביעים שבחר פעמיים בשמרנים ושבע פעמים בלייבור, ובעצם, כאמור לכל אפשרות אחרת. בגרמניה, על פני ארבע עשרה מערכות בחירות, התקבלה תמונה דומה להפליא).

בבואם להסביר את הנתונים האלה טענו כותבי המאמר שהמצביעים שאינם נאמנים הצביעו באופן אקראי לחלוטין, ממש כאילו הטילו מטבע לפני כל מערכת בחירות. כפי שדובי אמר אז, ובצדק, לו זה אכן היה המצב היינו מקבלים דווקא ריכוז גבוה של מצביעים סביב האפשרויות של שיוויון במספר ההצבעות לשתי המפלגות ולא התפלגות אחידה כפי שמופיעה בשני הגרפים.

שנתיים אחר כך, כשפתרתי את שאלת הכדורים והשק להנאתי נזכרתי איכשהו ברשומה ההיא של דובי ורצתי לבדוק אותה. כמה ימים אחר כך כבר פיתחתי את מה שכיניתי ביני לביני “מודל הצבעת נאמנות חלשה”.

חשוב לציין בשלב זה שיש, כמובן, יותר ממודל אחד שיכול להסביר דפוסי הצבעה דומים לאלה שבגרף. המתבקש שבהם הוא לטעון שאין טעם לנסות ולהעמיד החלטה מורכבת כמו הצבעה של קולות צפים על בסיס של מודל מתמטי יחיד, ואפילו פשטני במיוחד. מודל אחר שיסביר תופעה כזו הוא מצב של סחף פוליטי הדרגתי, סחף שמתבטא, נניח, במעבר של שלושה אחוזים מן המצביעים ממפלגה אחת לשנייה בכל מערכת בחירות (יש לציין שאם זה אכן היה המצב בבריטניה או גרמניה במערכות הבחירות שנותחו והכותבים לא טרחו לציין זאת מדובר במחדל גרוע בהרבה משגיאה מתמטית תמימה גם אם גסה).

הטענה הבסיסית של המודל היא שקולות צפים מתנהגים בדיוק כמו שולף הכדורים שנידון בשני הפוסטים הקודמים. בבחירות הראשונות הם שולפים באקראי כדור\מפלגה מהשק (בהסתברות שווה לשתי המפלגות), אבל עם כל בחירה במפלגה מסויימת הם מוסיפים לשק כדור נוסף שמייצג את אותה מפלגה.

מלבד העובדה שהמודל הפשוט הזה משחזר את התוצאות האמפיריות של המחקר יש בו גם הגיון שנרמז בשמו. קולות צפים נוטים לפתח “נאמנות חלשה” למפלגה שבה כבר בחרו, נאמנות חלשה כזו מתבטאת באותה תוספת של כדור המגדילה את ההסתברות לחזור שוב למפלגה שכבר נבחרה. מובן מאליו שיש גם הגיון פסיכולוגי בתיאור הזה. הבוחר מעדיף להרגיש שלם עם בחירתו, לא רוצה לתפוש את עצמו כחסר חוט-שדרה אידאולוגי, ולכן, עם כל בחירה במפלגה מסויימת הוא גם מגדיל את הנטייה שלו לחזור אליה.

כפי שכבר ציינתי, המידע הדל שנכלל במאמר המקורי לא מאפשר לבחון את מידת ההתאמה של המודל המוצע להתנהגות המצביעים בפועל. יחד עם זאת, מי שמעוניין לבחון את המודל הזה כפרויקט מחקרי יכול לעשות זאת בקלות על-ידי בחינה של היסטוריית ההצבעה של אותם קולות צפים (ולא רק של מספר הפעמים הכולל בו הם בחרו בכל אחת מהמפלגות).

ברמה הפרקטית, אם המודל מהווה תיאור נכון הרי שיש לו מסקנות מעשיות עבור מפלגות רלוונטיות. כפי שעולה בבירור מהמודל, השלב המכריע ביותר בהיסטוריית הבחירות של קולות צפים הוא מערכת הבחירות הראשונה שלהם. זה השלב שבו לתוספת של כדור בעל צבע מסויים יש את ההשפעה המרבית על דפוסי ההצבעה של אותם בוחרים בעתיד. המסקנה, הלא ממש מפתיעה, אם כן, היא שאת מאמצי הגיוס וההסברה הגדולים ביותר ראוי להשקיע בקולות הצפים שזו גם מערכת הבחירות הראשונה בה הם מצביעים. העברה של קול צף שנהג להצביע למפלגה המתחרה אולי מצטלמת מצויין בתשדירי הבחירות אבל (לפי המודל) מרבית הסיכויים הם לחזור ולאבד את הבוחר הזה במערכת הבחירות הבאה.

מסקנה נוספת, מעט מעורפלת יותר, נוגעת לחשיבות של הגברת הנאמנות החלשה שבמרכז המודל. מפלגה שתצליח לגרום לבוחריה להחזיר לשק לא כדור אחד בלבד, אלא, נניח, 1.1 כדורים (בשלב זה אין טעם של ממש לדבוק במספרים שלמים דווקא), תצליח להגביר את התמיכה בה המערכת הבחירות הבאה כמובן, וגם באלה שלאחריה. שוב, למצב כזה תהיה השפעה מקסימלית אם הוא יתרחש במערכת הבחירות הראשונה בה מצביעים הבוחרים, ובמלים אחרות, את המאמץ הגדול יש להשקיע לא רק בגיוס המצביעים האלה אלא גם בחיזוק הנאמנות שלהם והתחושה שהמפלגה יכולה להוות “בית פוליטי” טבעי עבורם.

יש, מבחינתי לפחות, משהו עצוב במסקנות האלה, מסקנות שאומרות שהדרך לחזק מפלגה הוא פנייה דווקא לאוכלוסיית הקולות הצפים הצעירים, ומחזקות מגמות אופנתיות שאני לא ממש אוהב בפוליטיקה. טוב, יש סיכוי סביר שכל המודל הזה הוא סתם קשקוש.

דיסקליימר: קיים סיכוי סביר למדי שממש כשם שלא חידשתי דבר בדיון המתמטי של הפוסטים הקודמים כך גם המודל הזה מוכר לאנשי מדע המדינה או לסטטיסטיקאים, וכבר הוכח או הופרך.

Related posts:

1. הרהורי זנב ארוך – שני כדורים, שק אחד: שלב ההוכחה
2. הרהורי זנב ארוך – שני כדורים, שק אחד* (עיקוף**)
3. הרהורי זנב ארוך – N כדורים, שק אחד

נתקלתי אמנם במעט תגובות (מחוץ לבלוג) שטענו שהרחקתי לכת עם העיסוק המתמטי בפוסט הקודם, אבל לאחר התלבטות קלה החלטתי להמשיך בתכנית המקורית. הפוסט הזה, אם כן, יהיה מתמטי מעט יותר מקודמו, ויציג הוכחה אחת מתוך שתיים (שתיהן פשוטות למדי) לתוצאה שכבר נמסרה בסופו של הפוסט הקודם. הפוסט הבא, מנגד, יהיה חף לחלוטין (כמעט) מדיון מתמטי ויעסוק, כמובטח, בקשר בין המודל הפשטני הזה לבין דפוסי הצבעה של קולות צפים.

הוכחה 1 – אינדוקציה

ההוכחה הראשונה שאבקש לתאר היא גם הפשוטה יותר, מבחינת המתמטיקה שהיא דורשת, אבל היא מעט פחות אלגנטית מההוכחה השנייה ומעט מורכבת יותר להכללה עבור המקרה של מספר כדורים שרירותי.

נניח כי כבר הוכחנו את הטענה שלנו עבור שליפה של כדורים ונראה כי מהנחה זו נובע שההנחה תקפה גם עבור שליפה של כדורים.

תזכורת: הטענה היא כי לאחר שליפה של כדורים על-פי התהליך שתואר בפוסט הקודם, ההסתברות כי מהם הינם אדומים ו- מתוכם הינם כחולים היא בדיוק ללא תלות בערכו של .

תזכורת נוספת: בפוסט הקודם, הראינו במפורש כי התוצאה הזו נכונה עבור כך שההנחה ממנה אנחנו יוצאים אינה בעייתית (למעשה לא היה צורך לעסוק כלל במקרים ה”מורכבים” יותר של כדי שההוכחה באינדוקציה תעבוד, אבל תפקידם, החשוב, היה לשכנע אותנו שהתוצאה שהתקבלה היא אכן הגיונית).

נשאל את עצמנו, אם כן, מה היא ההסתברות לכך שלאחר שליפה של כדורים נקבל כי מתוכם הינם אדומים ו- מתוכם הינם כחולים. לצורך כך נסמן את ההסתברות כי כדורים מתוך שנשלפו הינם אדומים כ-.

נפריד כעת, באופן מעט מלאכותי, ולא לחלוטין הכרחי בין האפשרות לפיה כל הכדורים שנשלפו הם מאותו צבע (שתי האפשרויות סימטריות כמובן) לבין האפשרויות האחרות.

האפשרות שלאחר שליפות נקבל כדורים אדומים היא מכפלת ההסתברויות לקבל כדור אדום בכל אחת מהשליפות בהינתן שכל השליפות הקודמות הניבו כדור אדום. לאחר כל שליפה כזו גדל מספר הכדורים הכולל ב-1, וכך גם מספר הכדורים האדומים (כאשר בשליפה הראשונה יש שני כדורים ואחד מהם אדום). נקבל אם כך את התוצאה

.

נשים לב שהמונה של כל שבר במכפלה הזו מצטמצם עם המכנה של השבר הקודם לו במכפלה ולכן זו אכן התוצאה.

כעת נבחן את האפשרות המורכבת יותר של כדורים אדומים ו- כדורים כחולים. יש שתי אפשרויות לקבל תוצאה כזו וההסתברות לקבל אותה הוא סכומן של שתי ההסתברויות האלה. נבחן במפורש את שתי האפשרויות האלה, הראשונה היא ההסתברות לכך שלאחר שליפות קיבלנו כדורים אדומים, ובשליפה ה- קיבלנו כדור כחול. עבור השליפה האחרונה יש בשק כדורים, כאשר מהם הינם אדומים. כלומר

.

המקרה השני שיניב את אותה תוצאה הוא זה שבו לאחר השליפה ה- קיבלנו כדורים אדומים, ובשליפה ה- קיבלנו כדור אדום נוסף. במקרה זה בשליפה האחרונה שוב יש כדורים בשק, והפעם מתוכם הם אדומים. ההסתברות במקרה זה נתונה על-ידי

.

ההסתברות הכוללת, סכום שתי ההסתברויות האלה הינה.

.

אולם הנחת האינדוקציה שלנו אומרת כי ולכן נקבל

.

וזו, בדיוק, התוצאה שאותה ביקשנו להוכיח.

מש"ל.

שתי הערות לסיום:

1. ההפרדה למקרים, כפי שכבר ציינתי, היתה מעט מלאכותית ומיותרת. ההוכחה הפורמאלית עובדת בלי שום בעיות גם עבור המקרים הקיצוניים, אך היא עלולה להיראות מוזרה מעט עבורם ועדיף לבחון אותם בנפרד לקבלת הבנה אינטואיטיבית.
2. כיוון ששוב יצא שהפוסט התארך יתר על המידה, תידחה ההוכחה השנייה, האלגנטית, גם אם מעט מורכבת יותר, לשלב בו נדון במספר שרירותי של כדורים.

Related posts:

1. הרהורי זנב ארוך – שני כדורים, שק אחד* (עיקוף**)
2. הרהורי זנב ארוך – N כדורים, שק אחד
3. הרהורי זנב ארוך – כשכושי זנב

בראשית הדרך של שעשועי הזנב הארוך שלי התחלתי מקבלה מלאה של התיאוריה של אנדרסון, או לפחות של דרך אחת לפרש אותה. הנחתי אז שיש התפלגות ארוכת-זנב שמתארת את טעמו של הקהל בהיעדר אילוצים חיצוניים, ובמקביל לה יש התפלגות אחרת, בעלת ראש דומיננטי שמתארת את אילוצי השוק (שטח אחסון מוגבל, מאמצי שיווק שמתמקדים בלהיטים וכן הלאה). התוצאות שקיבלתי היו טריוויאליות למדי ברמה המתמטית. למרות זאת ייתכן בהחלט שעוד אחזור אליהן כאן כי הן מזכירות משהו שנוטים לשכוח בדרך כלל בדיוני זנב ארוך – להיטים הם לא אילוץ של שוק מצומצם, הם תוצאה טבעית של הטעם האנושי. הדומיננטיות המוחלטת של להיטים, מנגד, היא אכן תוצאה ישירה של המפגש בין אותו טעם לבין אילוצי הצמצום***.

קצת אחר כך, ובלי שזכרתי את פרטי המאמר של שירקי, החלטתי לממש מודל שמזכיר מאוד את התיאור הסכמטי שהובא בפוסט הראשון.

בבסיס המודל שלי נמצא “שוק” של פריטים (נניח, אלף בלוגים). בשלב ראשון אני מקצה לכל אחד מהם פופולריות שווה, בדיוק כמו שירקי, ומניח שלאף אחד מהם אין קורא. בשל כל מיני סיבות שהעיקרית שבהן היתה פשטות המימוש בתוכנה קבעתי את הפופולריות של כל אחד מהם להיות 1.

כעת אפשר לגשת לעניין עצמו. אל הבלוגוספירה הטרייה מגיעה הקוראת הראשונה ולעיניה נפרשים אלף הבלוגים הבתוליים, כיוון שלכולם יש אותה פופולריות היא בוחרת לעצמה אחד מהם באקראי. ההסתברות לבחירה של כל אחד מהם היא , הבלוג הממוזל שנבחר זוכה לא רק בקורא אחד אלא גם בבונוס נאה – תוספת של 1 לפופולריות שלו.

הקורא הבא שמגיע כבר אינו נמצא בריק. לאחד הבלוגים יש פופולריות של 2, ולכל האחרים יש פופולריות של 1. במקרה הזה אם כך, יש סיכוי של לכך שגם הוא יבחר בבלוג הראשון, לעומת הסתברות של שיבחר בכל אחד מהבלוגים האחרים. תהא בחירתו אשר תהא, גם היא תוסיף 1 לפופולריות של הבלוג הנבחר.

תוך כדי הרצות של המודל הזה (ושל מודלים דומים) קיבלתי תחושה מוזרה מעט לגבי התוצאות. בשלב זה עשיתי מה שכל מדען עושה והחלטתי לנסות לטפל במקרה הפשוט ביותר שעדיין יש בו עניין. בחרתי לטפל במקרה .

במקרה כזה אין טעם להמשיך ולדבר על בלוגים (או על סרטים ב-Netflix, שירים ב-iTunes, ספרים ב-amazon או כל דבר אחר שתיאוריית הזנב הארוך אוהבת לעסוק בו), במקומם נאמץ ז’רגון מקובל מתרגילים בקורסי מבוא להסתברות ונדבר על כדורים בתוך שק.

נניח אם כן שיש לנו שק ובו שני כדורים (הבטחתי בכותרת) – אדום וכחול. כעת אנחנו מבצעים סדרת שליפות של כדורים מתוך השק. בכל פעם שנשלף כדור מצבע מסויים השליפה הזו נרשמת, והכדור מוחזר לשק יחד עם כדור נוסף מאותו צבע (מספר הכדורים מצבע מסויים בתוך השק בכל רגע הוא, אם כך בדיוק אותה פופולריות עליה דיברתי קודם).

השאלה שבה נתעניין היא מה ההסתברות לכך שאחרי שליפות שכאלה שלפנו מתוך השק כדורים כחולים ו- כדורים אדומים. את השאלה הזו, ואת פתרונה, אגב, אפשר למצוא בלא מעט מקומות ברשת ובספרי מבוא להסתברות, היא שאלה קלאסית עם תוצאה יפה, אלגנטית, ומפתיעה, אבל אין כאן, חשוב לי להבהיר שום יומרה לטעון שאני מחדש משהו.

כיוון שכבר החלטנו לעבור למקרה הפשוט ביותר נתחיל גם את הדיון בשאלה הזו מהתבוננות ישירה במקרים הפשוטים ביותר שלו.

(כך נראה מקרה פחות פשוט בשלב מתקדם שלו)

השליפה של הכדור הראשון היא, כמובן, משעממת להפליא. בשלב זה יש לנו שק ובו שני כדורים – אחד בכל צבע. מובן מאליו אם כן, שההסתברות לשליפה של כדור מכל צבע היא פשוט חצי.

המקרה המעניין הראשון אם כן הוא זה של שליפת שני כדורים. נבחן את השאלה מה ההסתברות לשליפה של שני כדורים אדומים. ההסתברות לכך שהכדור הראשון שנשלף הוא אדום, כבר אמרנו היא חצי. מה ההסתברות לכך שגם הכדור השני הוא אדום? בשלב זה, נשים לב, יש בשק שני כדורים אדומים (כיוון שהוספנו כדור אדום אחד) ורק כדור כחול אחד. לכן ההסתברות לשליפה של כדור אדום במצב הזה היא שני שלישים. כיוון שזו הדרך היחידה בה נקבל שני כדורים אדומים ההסתברות שאותה אנחנו מחפשים היא מכפלת ההסתברויות שמצאנו.

באופן שקול לחלוטין גם ההסתברות לכך ששלפנו שני כדורים כחולים היא שליש. כיוון שהמקרה היחיד שעוד נותר לדון בו הוא זה שבו שלפנו כדור אחד מכל צבע ברור שההסתברות למקרה כזה גם היא שליש (כיוון שסכום ההסתברויות חייב להיות 1). למרות השיקול הטריוויאלי הזה, וכדי שגם ההמשך יהיה ברור לא פחות נבחן את שתי האפשרויות (הסימטריות) לשליפה של כדור אחד מכל צבע.

נניח שהכדור הראשון שנשלף היה אדום, כעת יש בשק שני כדורים אדומים ואחד כחול, כך שההסתברות לשלוף כדור כחול היא שליש. האפשרות ההפוכה היא כמובן סימטרית לחלוטין.

ובהתאם, האפשרות לשליפה של כדור אחד אדום וכדור אחד כחול (בלי תלות בסדר) היא סכום ההסתברויות האלה.

.

נעבור למקרה הבא, שליפה של שלושה כדורים ונבחן את ההסתברויות המתקבלות (הפעם ללא יותר מידי הסברים מילוליים).

.

.

.

.

.

מובן מאליו שהדיון באפשרויות ההפוכות (שלושה כדורים כחולים או שניים כחולים ואחד אדום) הוא סימטרי לחלוטין. התוצאה, אם כן, היא שלכל אחת מארבע האפשרויות יש הסתברות שווה של רבע.

חדי-העין יבחינו כמובן במגמה המסתמנת, אולי גם בטיוטה כמעט סופית להוכחה מלאה שלה. אבל כיוון שגם כך הפוסט הזה התארך יתר על המידה אמנע מתיאור ההוכחה כאן ואזנק לתוצאה הסופית שבשלב זה אינה אמורה להפתיע אף אחד.

לאחר שנשלפו מהשק כדורים, ההסתברות לכל אחת מהחלוקות האפשריות ביניהן היא   בלי תלות בשאלה מה הוא מספר הכדורים האדומים באותה בחירה.

בהמשך הדרך: שתי הוכחות אלגנטיות לתוצאה הזו, הכללה למספר כלשהו של כדורים, ועצירה מובטחת לדיון מפתיע בדפוסי הצבעה של קולות צפים.

* טוב, לא באמת שני כדורים, אבל לפחות בהתחלה כן, ומה לא עושים בשביל כותרת פרובוקטיבית.

** ככה מתרגמים detour?

*** כפי שאמרתי, התוצאות שקיבלתי אז היו טריוויאליות להפליא, אבל בהמשך הדרך עוד יצוצו כאן מודלים שמנסים לשלב בין הגישה של שירקי לבין העימות הזה שבין טעם הקהל לבין אילוצי השוק, ושם דווקא אפשר לראות לא מעט תוצאות שיכולות להיות מעניינות.

Related posts:

1. הרהורי זנב ארוך – שני כדורים, שק אחד: שלב ההוכחה
2. הרהורי זנב ארוך – N כדורים, שק אחד
3. הרהורי זנב ארוך – שתי מפלגות, שק אחד

כמה מילות אזהרה: זה הפוסט הראשון בסדרה שמאוד יכול להיות שתתארך למדי. סדרה שאינה אופיינית למה שהתרגלתם לקרוא בבלוג הזה עד היום (בטח שלא לאחרונה). הנושא המרכזי – תיאוריית הזנב הארוך של כריס אנדרסון (נניח) כבר עלה כאן לדיון לא פעם אחת, אבל לא באופן שבו הסדרה הזו תנסה לעסוק בו.

כבר כמה שנים שאני מנסה, בשעות הפנאי, להשתעשע מעט במודלים מתמטיים הקשורים לתיאוריה של אנדרסון. קיבלתי כמה תוצאות מעניינות, שטחתי אותן בפני אנדרסון בזמנו. הוא הביע סקרנות, אבל במקביל טען שהוא כבר עבר הלאה, והפנה אותי למקומות אחרים.

בסדרת הפוסטים שנפתחת כאן אנסה לתאר כמה מהתוצאות האלה, בדרך, כמעט בלית ברירה, אבל גם בהנאה, אגלוש לדיונים טכניים יחסית. טרחתי אפילו להתקין תוסף LaTex שיאפשר לי להציג כאן משוואות.

ראו הוזהרתם.

המבוא, בכל מקרה, מתכוון להיות רגוע יחסית.

ב-2003 פרסם קליי שירקי מאמר מכונן בכל הקשור לדיון בדינמיקה של הבלוגוספירה, ושל צריכת תוכן ברשת בכלל. המאמר, Power Laws, Weblogs, and Inequality ניסה להתמודד עם האכזבה שהתעוררה (כבר אז) מכשלונה של הבלוגוספירה ליצור דמוקרטיזציה מלאה של הדיון ברשת. את החלום על דיון מבוזר שמתפרש בין אלפי בלוגים, קוננו אז המקוננים, החליפה מציאות אכזרית שבה מיעוט זניח של בלוגים זכו למעמד מיוחס, משכו אליהם עשרות ומאות אלפי קוראים, והותירו את כל שאר הבלוגים מתבוססים באלמוניות עם קהל קוראים מצומצם ויכולת השפעה אפסית.

שירקי ביקש להסביר במאמר שהולדתם של “להיטים” (אם לחבר כבר עכשיו את הדיון לתיאוריית הזנב הארוך של אנדרסון שבכל מקרה מסתתרת מעבר לפינה) היא בלתי-נמנעת, שהדינמיקה הבסיסית של הזירה, פתוחה ואנרכיסטית ככל שתהיה, סופה לייצר את אותם פערים עצומים.

שירקי (במרכז) אנדרסון (מימין) ועוד מישהו (משמאל)

פסקאות המפתח במאמר של שירקי, לטעמי לפחות, הן אלה

Freedom of Choice Makes Stars Inevitable #

To see how freedom of choice could create such unequal distributions, consider a hypothetical population of a thousand people, each picking their 10 favorite blogs. One way to model such a system is simply to assume that each person has an equal chance of liking each blog. This distribution would be basically flat – most blogs will have the same number of people listing it as a favorite. A few blogs will be more popular than average and a few less, of course, but that will be statistical noise. The bulk of the blogs will be of average popularity, and the highs and lows will not be too far different from this average. In this model, neither the quality of the writing nor other people's choices have any effect; there are no shared tastes, no preferred genres, no effects from marketing or recommendations from friends.

But people's choices do affect one another. If we assume that any blog chosen by one user is more likely, by even a fractional amount, to be chosen by another user, the system changes dramatically. Alice, the first user, chooses her blogs unaffected by anyone else, but Bob has a slightly higher chance of liking Alice's blogs than the others. When Bob is done, any blog that both he and Alice like has a higher chance of being picked by Carmen, and so on, with a small number of blogs becoming increasingly likely to be chosen in the future because they were chosen in the past.

Think of this positive feedback as a preference premium. The system assumes that later users come into an environment shaped by earlier users; the thousand-and-first user will not be selecting blogs at random, but will rather be affected, even if unconsciously, by the preference premiums built up in the system previously.

Note that this model is absolutely mute as to why one blog might be preferred over another. Perhaps some writing is simply better than average (a preference for quality), perhaps people want the recommendations of others (a preference for marketing), perhaps there is value in reading the same blogs as your friends (a preference for "solidarity goods", things best enjoyed by a group). It could be all three, or some other effect entirely, and it could be different for different readers and different writers. What matters is that any tendency towards agreement in diverse and free systems, however small and for whatever reason, can create power law distributions.

Because it arises naturally, changing this distribution would mean forcing hundreds of thousands of bloggers to link to certain blogs and to de-link others, which would require both global oversight and the application of force. Reversing the star system would mean destroying the village in order to save it.

יש משהו מאוד אינטואיטיבי וטבעי בגישה ששירקי מציע כאן, כמעט מובן מאליו. יש בה גם לא מעט צדק, כל עוד אנחנו מתייחסים אליה כאל תיאור איכותי בלבד של תהליך. כן, הבחירות האקראיות לחלוטין של כמה מאמצים מוקדמים יש בהן להטות את המשך תהליך הבחירה, סביב הזרע של אותן בחירות ראשוניות אכן תתפתח מציאות שתשבור את השוויון המלא ממנו יצאנו לדרך.

אבל יש בגישה הזו עוד משהו. היא מציעה, אמנם בלי יותר מידי פרטים טכניים, אפשרות למודל. כזה שקל מאוד לממש אותו באמצעות תכנות פשוט ואז לבדוק את תוצאותיו. יותר מזה, בהנחות מסויימות שבהחלט נכללות בתוך התיאור של שירקי (ואפילו מחריפות מעט את האפקט המתואר של יצירת “כוכבים”) אפשר לקבל חישוב מדוייק של התוצאה בלי צורך בסימולציות ממוחשבות.

זה בדיוק מה שעשיתי (סימולציות) ומה שאחר כך נעזרתי בחבר מתמטיקאי כדי לעשות (חישוב אנליטי כמעט מדוייק). ברמה מסויימת התוצאות שהתקבלו אכן מתאימות למה שהיה הנקודה המרכזית של שירקי. ברמה אחרת, שבה התיאור של שירקי והתיאוריה של אנדרסון נפגשות, התוצאות שקיבלתי היו מפתיעות מאוד, לפחות לטעמי, לפחות במבט ראשון.

כל אלה ועוד (כולל גיחה מפתיעה להצעה לתיאוריה של דפוסי ההצבעה של קולות צפים) בהמשך הסדרה הזו.

הערה מרתקת לסיום: בהפרש של שנים אחדות זה מזה בחרו שירקי ואנדרסון להתשמש באותו תיאור של חוקי חזקה כדי לדבר על דפוסי הצריכה בעידן הרשת. שירקי ביקש להשתמש בהם כדי להסביר את הדומיננטיות הבלתי-נמנעת של להיטים. אנדרסון בחר להסתכל דווקא על הזנב הארוך של אותן התפלגויות בדיוק כדי לבשר על מותם הבלתי-נמנע של הלהיטים. הסתירה המתמיהה הזו תצוף כאן בהמשך הדיון כמובן.

דיסקליימר קטן: אני משער שאני לא הראשון שהתייחס לדברים האלה, וסביר להניח שגם לא הראשון שמימש מודל כזה. פניתי לשירקי כדי להתעניין בנושא ואני עדיין מקווה לשמוע ממנו משהו. אם וכאשר תגיע תשובה אדווח כאן. במקרה כזה בהחלט יכול להיות שכל סדרת הפוסטים הזו תשנה לחלוטין את אופיה ואת המשכה.

Related posts:

1. הרהורי זנב ארוך – כשכושי זנב
2. הרהורי זנב ארוך – תוצאות ראשוניות
3. הרהורי זנב ארוך – שני כדורים, שק אחד* (עיקוף**)