הרהורים על "זוג או פרט"

זה פוסט מוזר. ראו הוזהרתם.

באחד הפרקים הראשונים של הישרדות נאלצו שני השבטים להודות שהכרעה לא תושג במאבק ביניהם ושהדרך היחידה ליישב אותו בלי לגרום נזק בלתי-הפיך למשתתפים תהיה לפנות להגרלה. מאוחר יותר, כשסיפרתי למישהו על אירועי הפרק טענתי שהשבטים הטילו מטבע, אלא שאז נזכרתי שמטבעות אין להם ולרגע, בעודי מנסה להיזכר מה היתה שיטת ההגרלה שבה השתמשו חשבתי שאולי נציגים משני השבטים שיחקו ביניהם "זוג או פרט".

ואז זה היכה בי.

ההגרלה ב"זוג או פרט", לפחות לפי החוקים שהיו נהוגים בילדותי אינה הוגנת! ההסתברות לקבלת תוצאה זוגית גבוהה יותר מההסתברות לקבלת תוצאה אי-זוגית! אחת מהנחות היסוד של עולם הילדות שלי התפוררה פתאום.

בסרדיניה זוג או פרט (בערך) הוא עניין רציני לגמרי

בואו נתחיל מהעובדות: ב"זוג או פרט", כפי ששוחק בילדותי, וכפי שזכרו אותו כמה וכמה אנשים בני גילי פחות או יותר רשאי כל אחד משני השחקנים להציג בין אצבע אחת לחמש, מספר האצבעות הכולל של שני השחקנים קובע מי משניהם ניצח. אם מספר האצבעות הכולל הוא זוגי זוכה השחקן שבחר "זוג", אם מספר האצבעות הכולל הוא אי-זוגי זוכה השחקן שבחר "פרט". תחת ההנחה הבעייתית (אבל היחידה שאפשר להתחיל ממנה) לפיה כל אחד מהשחקנים מחליט באופן אקראי (כלומר בהתפלגות אחידה) על מספר האצבעות שיציג הרי שההסתברות ששחקן מסויים יציג מספר זוגי של אצבעות הוא 2/5 (שתי אצבעות או ארבע אצבעות) וההסתברות שיציג מספר אי-זוגי הוא 3/5. ההסתברות לקבלת סכום זוגי נתונה על-ידי ההסתברות ששני השחקנים יציגו בו-זמנית מספר זוגי של אצבעות ועוד ההסתברות ששני השחקנים יציגו בו-זמנית מספר אי-זוגי של אצבעות. כיוון שברור שאין תלות בין מספרי האצבעות ששולפים שני השחקנים ההסתברות לקבלת סכום זוגי היא P=(2/5)^2+(3/5)^2=13/25. מכאן ברור שההסתברות לקבלת סכום זוגי גבוהה מההסתברות לקבלת סכום אי-זוגי.

עד כאן העובדות, ומכאן כמה הרהורי המשך.

על ההוגנות – שימו לב, מה שהתגלה כלא הוגן הוא  ההגרלה, לא המשחק. המשחק עצמו נשאר הוגן כמובן, ולו מתוקף העובדה ששני השחקנים מתחילים אותו מעמדות זהות. אלא שהחלק השרירותי לכאורה של בחירה בין זוג לבין פרט מתגלה כמשמעותי. הבחירה, למעשה, שוברת את הסימטריה בין המתחרים.

על הקלקולופובים – למרות שהמתמטיקה המעורבת, כפי שניתן לראות בפסקה שלעיל היא פשוטה להפליא, כמעט כל מי שדיברתי איתו בימים האחרונים על הנושא (והיו לא מעט כאלה) אם אינו מגיע מרקע מדעי נעץ בי חיוך אומלל שחלקו רחמים וחלקו תחינה שאניח לו עם "הנוסחאות" שלי. חלקם חזרו אליי מאוחר יותר עם נסיונות לא ברורים להוכיח לי שאני שוגה או שאותו הגיון אפשר באורח פלא להפנות גם לעבר "אבן-נייר-ומספריים". נדמה לי שמעולם לא נתקלתי בהדגמה חדה כל כך לאופן שבו עירוב, ולו מינימלי, של מתמטיקה מנחית מכת-מוות מהירה על המשך האפשרות לקיומה של שיחה.

על החוקים – למרות מה שזכרתי (ושחוזק כאמור על-ידי זכרונם של עוד כמה) נתקלתי גם באנשים ששיחקו רק עם שתי אפשרויות (כל שחקן שולף אצבע אחת או שתיים). בטוויטר חנן צייץ בדיחה לפיה גיקים אמיתיים משחקים רק עם אחת ואפס.

אבל מה שחשוב באמת הוא העובדה שכאשר שאלתי שני קרובי משפחה צעירים (בני 12) הם טענו במפורש שכל שחקן יכול להציג בין אפס לבין חמש אצבעות. ההרחבה הזו יוצרת, כמובן, סימטריה מלאה בין המספרים הזוגיים לבין האי-זוגיים ובכך מחזירה את ההגרלה להיות הוגנת.

נכון שהעדויות האנקדוטליות שאספתי הן לא ממש בסיס לתזה אבל אני נוטה להאמין שמתישהו בין שנות הילדות שלי לבין הזמן הנוכחי חל סחף לכיוון ההתרה של אפס אצבעות כמהלך לגיטימי במשחק. בהיעדר איגוד רשמי של שחקני זוג או פרט יש להניח שהשינוי הזה "צמח מלמטה" במטרה לתקן את ההטיה של החוקים הישנים יותר.

על פסיכולוגיה – בהמשך ישיר לנקודה האחרונה, שמתי לב שכמעט כל מי ששאלתי "זוג או פרט?" השיב "זוג". האם ייתכן שבאופן בלתי-מודע שחקני  זוג או פרט צוברים מספיק מידע כדי להרגיש שהבחירה בזוג עדיפה, גם אם אינם מוכנים למשוע על חישובים? למיטב זכרוני היו גם מקרים בהם היה אחד הצדדים יוזם את ההכרעה באמצעות משחק על-ידי כך שכבר היה מכריז על הבחירה שלו וכופה על השחקן שמולו את הבחירה המשלימה, במקרים כאלה, כמעט תמיד היה הצד הכופה פותח בהכרזה "זוג" כמובן.

יתר על כן, האם יכול להיות שלאורך זמן משתנה התפלגות הבחירה של השחקים באופן שיחזיר את המשחק להיות הוגן – האם שחקנים ותיקים מחלקים את תהליך הבחירה לשניים? בחירה עקרונית בין זוג לבין פרט ואז בחירה שרירותית מתוך מרחב האפשרויות המצומצם?

על האחידות – אחת הבעיות המרכזיות בכל ההצגה הזו היא ההנחה המופרכת לחלוטין לפיה התפלגות הבחירה של כל שחקן היא אחידה. בפועל, כפי שציינו בפניי בכמה שיחות, ארבע אצבעות הן בחירה נדירה ולא נוחה לשליפה (ובמידה פחותה גם שלוש אצבעות). לכאורה יש בטענה הזו החמרה של האי-הוגנות הבסיסית של המחשק. בפועל אני משער שדווקא העובדה ששתיים היא הבחירה הזוגית היחידה מקלה על שחקנים לבצע את הפירוק של תהליך הבחירה לשני חלקים.

על ההיסטוריה  – נסיון לברר את "החוקים האמיתיים" של המשחק הוביל, כמובן, להכרה שקשה לדבר על חוקים אמיתיים, או על גירסה בסיסית אחת של המשחק שמקורותיו בימי האימפריה הרומית, ושגירסה אחרת שלו נאסרה בסרדיניה לתקופה קצרה בשל הנטייה של משחקים להתפתח לכדי תגרות אלימות.

על הפוסט הזה – פוסט מוזר, כבר אמרתי. אבל הנושא הזה לא נותן לי מננוח כבר כמה ימים, ואשמח לשמוע מחשבות של אנשים אחרים בעניינים שהועלו בו. בראשי כבר תכננתי כמה ניסויים בהשתתפות שחקנים צעירים שיבחנו את הכיוונים שהעליתי כאן. יש לפחות שתי פסקאות שהוצאו מהפוסט הזה כיוון שנעשו ארוכות ומסורבלות מידי. נדמה שאין נושא שהוא קטן וזניח מכדי להצדיק שעות של הרהורים.

59 תגובות ל“הרהורים על "זוג או פרט"”

  1. […] כתב בתודעה כוזבת משהו שמדגים יפה את הסלידה שלי מרציונליות, […]

  2. אם מישהו רוצה לתכנן ניסוי (כזה שעובר ועדת הלסינקי), יש לי שני ילדי כיתה א' זמינים לניסויים…

    [להגיב לתגובה זו]

  3. אני חושב שהשגיאה המרכזית שלך היא שמדובר בהגרלה.
    זה היה נכון רק עם היו זורקים קוביה. בפועל שני השחקנים
    בוחרים איזה מספר לשלוף. המשחק שייך לתחום תורת המשחקים,
    ולא לתחום תורת ההסתברות.

    והעובדה שרוב השחקנים בוחרים בזוג נראית לי יותר קשורה לסמנטיקה.
    זוג נשמע יותר חיובי מפרט, והוא גם בה ראשון בביטוי "זוג או פרט".
    מאותה סיבה אני חושב שרוב השחקנים ייבחרו עץ.

    [להגיב לתגובה זו]

  4. […] כתב לפני כמה ימים בתודעה כוזבת פוסט לגבי זוג או פרט שבו הוא טוען שהמשחק אינו הוגן כי למעשה בעזרת 5 אצבעות […]

  5. מסכימה עם ההערות של GoodyBird שנדמה לי שהתכוון לומר ששני השחקנים בוחרים באיזו *אסטרטגיה* לנקוט (קרי "אי-זוגי" או "זוגי" שמטעמי נוחות מבוטאות לרוב באצבע אחת או שתיים, בהתאמה, ומבחינת ההתפלגות על מרחב התוצאות של נצחון/הפסד זה כמובן שקול לבחירת 0-5 אצבעות). מהבחינה הזו זה באמת לא שונה כל כך מאבן-נייר-מספריים כשמתחילים להיכנס שיקולים של "קריאת" היריב ונסיונות לדלות רמזים או שליחת "איתותים" או "הטעיות" למיניהן, והמזל פחות משחק תפקיד. ובמשחק עם חזרות – כמו שקורה לפעמים – הניתוח מסתבך עשרות מונים… ואיך אוכפים בחירה הוגנת שכל צד מתחייב לפני שהספיק לראות את זו של היריב (זכורים לי לא מעט ריבים ומחלוקות שנתגלעו סביב הסוגיה התמימה-לכאורה הזו), וכו' וכו'.

    [להגיב לתגובה זו]

  6. […] העברית סביב משחק הזוג-או-פרט. תחילתה בפוסט של תודעה כוזבת על כך שהמשחק אינו הוגן (אסביר בקרוב), והמשכה בשתי צורות […]

  7. […] קישור לפוסט: הרהורים על "זוג או פרט" […]

  8. […] העברית סביב משחק הזוג-או-פרט. תחילתה בפוסט של תודעה כוזבת על כך שהמשחק אינו הוגן (אסביר בקרוב), והמשכה בשתי צורות […]

  9. אני משחק את המשחק הזה רוב 25 שנותיי ובהחלט אומר כי יש מיומנות וזהו ממש לא משחק מזל. כמו שפוקר לא משחק מזל. המשחק באמת שייך לתורת המשחקים ורובו ככולו פסיכולוגי, האם יש יתרון למי שמכריז ראשון? אולי עדיף להגיב? הרי ודאי שבהתאם להכרזה של היריב יהיה למתמטיקאי אך לא פחות, אם לא יותר לשחקן המנוסה, מושג מה המהלך של היריב בהתאם להכרזתו. אותה פסיכולוגיה עובדת מהצד השני, של המכריז. כן, גם לטראש טוק יש אלמנט חזק במשחק. אין משחק שטראש טוק טוב לא יערער את היריב שלך. ואצלנו? מותר 1-4 בלי בוהן וכל מיני וריאציות מוזרות. בפועל? רק אחד ושתיים(מה שמאזן את המפה ההסברותית), עד 3 and may the best man win

    [להגיב לתגובה זו]

השארת תגובה

Subscribe without commenting